物理

三角函数公式

本帖用作总结和$LaTeX$练习

$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

$\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

$\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$

$\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

万能公式

 $ t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) $，

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad \tan x = \frac{2t}{1-t^2}$

辅角公式

$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi)$

其中 $ \varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $

三倍角公式

$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$

$\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$

半角公式

$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}, \quad \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$

$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{B}{2}\right)\sin\left(\frac{C}{2}\right)$

$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C) = 4 \sin A \sin B \sin C

平方

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$

$1 + \cot^2 x = \csc^2 x$

降幂公式

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

和角公式

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$

$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$

$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

不等式

$|\sin x| \leq 1, \quad |\cos x| \leq 1$

Jensen 不等式应用（凸函数）

如：在 $ (0, \pi) $ 上

$\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \leq \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

当且仅当 $ A = B = C = \frac{\pi}{3} $ 取等。

若 $ A + B + C = \pi $，则：

$\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{C}{2}\right)$

$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R}$