物理

[微积分的那些事]-第二回目：微分学-第四章：导数的定义与基本求导公式

4.1 变化率概念的来源

4.1.1 两个经典问题

问题一：瞬时速率问题
一辆汽车在直线上运动，位置函数为 $s = s(t)$。

• 平均速率：$v_{\text{平均}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$

• 瞬时速率：当 $\Delta t \to 0$ 时，平均速率的极限

问题二：切线斜率问题
求曲线 $y = f(x)$ 在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率

• 割线斜率：$k_{\text{割}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

• 切线斜率：当 $\Delta x \to 0$ 时，割线斜率的极限

4.1.2 变化率的定义

定义4.1（变化率）
设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。
若极限
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可求变化率，此极限称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的变化率，记作：
$f'(x_0)$, $\left.\frac{dy}{dx}\right|{x=x_0}$, 或 $\left.\frac{df}{dx}\right|{x=x_0}$

等价定义形式：

1. $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

2. $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

4.1.3 变化率的几何意义

$f'(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率

切线方程：
$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

法线方程：
$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$ （当 $f'(x_0) \neq 0$）

例4.1：求曲线 $y = x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程和法线方程

解：$f'(x) = 2x$，$f'(1) = 2$

• 切线：$y - 1 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x - 1$

• 法线：$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

4.2 可求变化率与连续的关系

4.2.1 重要定理

定理4.2：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可求变化率，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续

证明思路：
由可求变化率性：$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)$
则 $f(x_0+\Delta x)-f(x_0) = \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x$
取极限：$\lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0+\Delta x)-f(x_0)] = f'(x_0) \cdot 0 = 0$
故 $\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0+\Delta x) = f(x_0)$，即 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续

4.2.2 逆命题不成立

反例：

1. $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可求变化率

2. $f(x) = \sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处连续但不可求变化率（有垂直切线）

3. 魏尔斯特拉斯函数：处处连续但处处不可求变化率

4.2.3 单侧变化率

右侧变化率：$f'+(x_0) = \lim{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
左侧变化率：$f'-(x_0) = \lim{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

可求变化率的充要条件：$f'+(x_0) = f'-(x_0)$

例4.2：$f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处

• 右侧变化率：$f'+(0) = \lim{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|-0}{\Delta x} = 1$

• 左侧变化率：$f'-(0) = \lim{\Delta x \to 0^-} \frac{|-\Delta x|-0}{\Delta x} = -1$

• 左右变化率不相等 $\Rightarrow$ 不可求变化率

4.3 基本初等函数的变化率公式

4.3.1 常数函数

$\frac{d}{dx}(c) = 0$ （$c$为常数）

4.3.2 幂函数

$\frac{d}{dx}(x^\alpha) = \alpha x^{\alpha-1}$ （$\alpha$为任意实数）

特殊情形：

• $\frac{d}{dx}(x) = 1$

• $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

• $\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2}$

• $\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

4.3.3 指数函数

1. $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

2. $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ （$a>0, a\neq 1$）

4.3.4 对数函数

1. $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ （$x>0$）

2. $\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$ （$a>0, a\neq 1, x>0$）

4.3.5 三角函数

1. $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

2. $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

3. $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

4. $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

4.3.6 反三角函数

1. $\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ （$-1<x<1$）

2. $\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ （$-1<x<1$）

3. $\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$

4. $\frac{d}{dx}(\operatorname{arccot} x) = -\frac{1}{1+x^2}$

4.4 变化率公式表总结

4.5 用定义求变化率的例题

例4.3：用定义求 $f(x) = \sqrt{x}$ 的变化率

解：对 $x > 0$，
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$
$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x})(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$
$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$
$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$
$= \frac{1}{2\sqrt{x}}$

例4.4：用定义求 $f(x) = \sin(ax+b)$ 的变化率

解：
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin[a(x + \Delta x) + b] - \sin(ax + b)}{\Delta x}$
$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos\left(ax + b + \frac{a\Delta x}{2}\right)\sin\left(\frac{a\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}$
$= a\cos(ax + b) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\left(\frac{a\Delta x}{2}\right)}{\frac{a\Delta x}{2}}$
$= a\cos(ax + b)$

4.6 高阶变化率

4.6.1 定义

一阶变化率的变化率称为二阶变化率，记作：
$y''$, $f''(x)$, 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$

类似定义 $n$ 阶变化率：$f^{(n)}(x) = \frac{d^n y}{dx^n}$

4.6.2 常见高阶变化率

1. 幂函数：$y = x^\alpha$
   $y^{(n)} = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)x^{\alpha-n}$

2. 指数函数：$y = e^x$
   $y^{(n)} = e^x$

3. 指数函数：$y = a^x$
   $y^{(n)} = a^x (\ln a)^n$

4. 正弦函数：$y = \sin x$
   $y^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$

5. 余弦函数：$y = \cos x$
   $y^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$

6. 对数函数：$y = \ln(1+x)$
   $y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$

4.6.3 莱布尼茨公式（高阶变化率的乘法法则）

若 $u=u(x)$, $v=v(x)$ 都有 $n$ 阶变化率，则：
$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$
其中 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$，$u^{(0)}=u$，$v^{(0)}=v$

4.7 线性近似

4.7.1 线性近似的定义

定义4.2（线性近似）
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可求变化率。
若存在常数 $A$，使得 $\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$（$\Delta x \to 0$）
则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可线性近似，$A\Delta x$ 称为线性近似量，记作 $dy = A\Delta x$

4.7.2 线性近似与变化率的关系

定理4.3：可线性近似 $\Leftrightarrow$ 可求变化率，且 $A = f'(x_0)$，$dy = f'(x_0)dx$

4.7.3 线性近似的几何意义

$dy = f'(x_0)dx$ 表示切线纵坐标的改变量
当 $dx$ 很小时，$\Delta y \approx dy$

4.7.4 线性近似形式不变性

设 $y=f(u)$，$u=g(x)$，则：
$dy = f'(u)du = f'(g(x))g'(x)dx$
无论 $u$ 是自变量还是中间变量，形式 $dy = f'(u)du$ 不变

4.7.5 线性近似的应用：近似计算

公式：当 $|\Delta x|$ 很小时，
$f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$

常用近似公式（$|x|$很小时）：

1. $\sin x \approx x$

2. $\tan x \approx x$

3. $e^x \approx 1 + x$

4. $\ln(1+x) \approx x$

5. $(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$

6. $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2}$

例4.5：计算 $\sqrt[3]{1.02}$ 的近似值

解：令 $f(x) = (1+x)^{1/3}$
$f'(x) = \frac{1}{3}(1+x)^{-2/3}$

取 $x_0=0$，$\Delta x=0.02$
$\sqrt[3]{1.02} \approx 1 + \frac{1}{3} \times 0.02 = 1 + 0.00667 = 1.00667$
精确值：$1.006623$，误差约 $0.000047$

4.8 参数方程求变化率

4.8.1 参数方程的变化率

若 $x=\varphi(t)$，$y=\psi(t)$，且 $\varphi'(t)\neq 0$，则：
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$

4.8.2 例子

例4.6：摆线 $\begin{cases} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{cases}$ 的变化率
$\frac{dy}{dx} = \frac{a\sin t}{a(1-\cos t)} = \frac{\sin t}{1-\cos t} = \cot\frac{t}{2}$

4.9 隐函数求变化率

4.9.1 方法

对方程 $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求变化率，将 $y$ 看作 $x$ 的函数

例4.7：由 $x^2+y^2=1$ 求 $y'$
解：$2x+2yy'=0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}$

例4.8：椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上点 $(x_0,y_0)$ 的切线
解：$\frac{2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0 \Rightarrow y' = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$
切线：$y-y_0 = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}(x-x_0)$
整理：$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$

4.10 对数求变化率法

4.10.1 方法

对 $y=f(x)$ 取对数，再求变化率

步骤：

1. $\ln y = \ln f(x)$

2. $\frac{1}{y} y' = \frac{d}{dx}[\ln f(x)]$

3. $y' = y \cdot \frac{d}{dx}[\ln f(x)]$

4.10.2 例子

例4.9：求 $y=x^x$（$x>0$）的变化率
解：

1. $\ln y = x \ln x$

2. $\frac{1}{y} y' = \ln x + 1$

3. $y' = x^x (\ln x + 1)$

例4.10：求 $y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ 的变化率
解：

1. $\ln y = \frac{1}{2}[\ln(x-1)+\ln(x-2)-\ln(x-3)-\ln(x-4)]$

2. $\frac{1}{y} y' = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right]$

3. $y' = \frac{1}{2}y\left[\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right]$