1.1极限 - 质心论坛

预先说一下，我想开一个高数合集，于是就从微积分讲起。

本章开始讲解极限。

首先来举个例子，考虑数列$a_n = \frac{1}{n}$。我们断言：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$，那么如何证明这一件事呢？这就需要引出极限的定义了。

标准定义(函数极限)：

定义（ε-δ定义）：

设函数 $f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，$c$ 是 $D$ 的一个聚点（即 $c$ 的任意邻域内都有 $D$ 中不同于 $c$ 的点）。若存在实数 $L$，使得对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $x \in D$ 且 $0 < |x - c| < \delta$，就有

$|f(x) - L| < \varepsilon$

则称当 $x$ 趋近于 $c$ 时，$f(x)$ 的极限为 $L$，记作

$\lim_{x \to c} f(x) = L$

数列极限定义：

定义（ε-δ定义）：

设 $\{a_n\}$ 是一个实数数列，$L \in \mathbb{R}$。我们说数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $L$，记作

$\lim_{n \to \infty} a_n = L$

如果对于任意给定的正实数 $\varepsilon > 0$，都存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有

$|a_n - L| < \varepsilon$

那么我们来尝试证明一下上述推论

证明：对任意 $\varepsilon > 0$，选择 $N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil$，则当 $n > N$ 时，

$\left| \frac{1}{n} - 0 \right| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} \leq \varepsilon$

因此满足定义，证毕。

那么此时，如果对于一个函数，我们只考虑x在左侧或右侧趋近于某点该如何表示呢？这就是单侧极限。

左极限：

$\lim_{x \to c^-} f(x) = L \quad \text{表示} \quad \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{使得 } c - \delta < x < c \Rightarrow |f(x) - L| <\varepsilon$

右极限：

$\lim_{x \to c^+} f(x) = L \quad \text{表示} \quad \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{使得 } c < x < c + \delta \Rightarrow |f(x) - L| <\varepsilon$

只有当左极限和右极限都存在且相等时，$\lim_{x \to c} f(x)$ 才存在。

极限运算

设 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，$\lim_{x \to c} g(x) = M$，则：

乘积法则：$ \lim_{x \to c} [f(x)g(x)] = LM$

商法则（若 $M \ne 0$）：$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$

5. 夹逼定理：若 $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ 在 $c$ 附近成立，且 $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L$，则 $\lim_{x \to c} g(x) = L$

一些极限公式

1.$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

4. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

5. $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$