物理 [单片系列]-ZFC？策梅洛-弗兰克尔集合论
一、引言
ZFC（策梅洛-弗兰克尔集合论 + 选择公理）是现代数学的标准基础，旨在为“集合”这一概念提供一个严格、无矛盾的公理化基础。
二、ZFC 公理详解
1. 外延公理
$\forall A \forall B \left[ \forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B) \rightarrow A = B \right]$
含义：两个集合相等，当且仅当它们拥有完全相同的元素。这是集合的“身份”由其元素决定的根本原则。
2. 配对公理
$\forall a \forall b \exists A \forall x (x \in A \leftrightarrow x = a \lor x = b)$
含义：对任意两个集合 $a$ 和 $b$，都存在一个集合 ${a, b}$。这是构造有序对 $(a, b) := {{a}, {a, b}}$ 的基础。
3. 并集公理
$\forall \mathcal{F} \exists U \forall x (x \in U \leftrightarrow \exists A (A \in \mathcal{F} \land x \in A))$
含义：对任意集合族 $\mathcal{F}$，其所有成员的元素的并集 $\bigcup \mathcal{F}$ 也是一个集合。
4. 幂集公理
$\forall X \exists P \forall Y (Y \subseteq X \rightarrow Y \in P)$
含义：对任意集合 $X$，其所有子集可以构成一个新的集合 $\mathcal{P}(X)$，称为 $X$ 的幂集。$|\mathcal{P}(X)| = 2^{|X|}$。
5. 无穷公理
$\exists S (\emptyset \in S \land \forall x (x \in S \rightarrow x \cup {x} \in S))$
含义：存在一个无穷集合。通过定义后继运算 $x^+ = x \cup {x}$，这个公理保证了我们可以构造出包含所有自然数的集合 $\omega$。例如：$0 = \emptyset$, $1 = {\emptyset}$, $2 = {\emptyset, {\emptyset}}$, ...
6. 分离公理模式
对每个逻辑公式 $\phi(x)$，有：
$\forall A \exists B \forall x (x \in B \leftrightarrow (x \in A \land \phi(x)))$
含义：给定一个集合 $A$ 和一个性质 $\phi$，我们可以从 $A$ 中分离出满足 $\phi$ 的那些元素，组成一个新集合 $B = {x \in A \mid \phi(x)}$。
关键：这避免了罗素悖论，因为我们不能取“所有满足 $\phi$ 的集合”，只能从某个已有的集合 $A$ 中分离。
7. 替换公理模式
对每个定义了一个“函数关系”的公式 $\phi(x, y)$（即 $\forall x \exists! y \phi(x, y)$），有：
$\forall A \exists B \forall y (y \in B \leftrightarrow \exists x (x \in A \land \phi(x, y)))$
含义：如果一个类 $\phi$ 在集合 $A$ 上表现得像一个函数，那么这个函数的“像”（值域） $B$ 也是一个集合。它比分离公理更强大。
8. 正则公理（基础公理）
$\forall S (S \neq \emptyset \rightarrow \exists x \in S (x \cap S = \emptyset))$
含义：每个非空集合 $S$ 都包含一个与 $S$ 自身不相交的元素。
推论：
不存在属于自身的集合：$\forall x, x \notin x$。
不存在无限的属于下降链：$x_1 \ni x_2 \ni x_3 \ni \cdots$。
所有集合都可以通过从空集开始的累积分层构造出来。
9. 选择公理
$\forall \mathcal{F} \left( \emptyset \notin \mathcal{F} \rightarrow \exists c : \mathcal{F} \to \bigcup \mathcal{F} \\ \forall A \in \mathcal{F} (c(A) \in A) \right)$
含义：对任意由非空集合构成的集合族 $\mathcal{F}$，都存在一个选择函数 $c$，它可以从 $\mathcal{F}$ 中的每一个集合里恰好选出一个元素。
等价形式：
良序原理：任何集合都可以被良序化。
佐恩引理：如果一个偏序集中每个链都有上界，那么它存在一个极大元。
乘积非空：一族非空集合的笛卡尔积是非空的。
三、关键概念与构造
有序对与函数
有序对：$(a, b) := {{a}, {a, b}}$。关键性质：$(a,b) = (c,d) \iff a=c \land b=d$。
关系：有序对的集合。
函数：一种特殊的关系，其中每个定义域元素只对应一个值域元素：$f = {(x, y) \mid y = f(x)}$。
自然数的构造 (冯·诺依曼序数)
$0 := \emptyset$
$1 := {0} = {\emptyset}$
$2 := {0, 1} = {\emptyset, {\emptyset}}$
$3 := {0, 1, 2}$
$n + 1 := n \cup {n}$
自然数集 $\mathbb{N} := \omega$，即由无穷公理保证的最小归纳集。
数学对象的实现
在 ZFC 中，几乎所有高等数学对象都可以用纯集合表示：
整数、有理数、实数：通过等价类或戴德金分割定义。
函数、序列：有序对的集合。
群、环、域：有序对 $(G, )$，其中 $G$ 是集合，$$ 是 $G \times G \to G$ 的函数（也是集合）。
四、重要性与讨论
1. ZFC 如何解决悖论？
罗素悖论：分离公理模式阻止我们构造“所有不属于自身的集合的集合” $R$。我们只能从某个已存在的集合 $A$ 中构造 ${x \in A \mid x \notin x}$，而可以证明这个集合不在 $A$ 中，因此不产生矛盾。
其他悖论：正则公理消除了 $x \in x$ 这类自属集合；幂集、并集等公理谨慎地规定了如何从旧集合构造新集合，避免形成“所有集合的集合”这类过大集合。
2. 选择公理（AC）的地位
争议性：AC 是非构造性的，且能推出一些反直觉结果（如巴拿赫-塔斯基分球悖论）。
独立性：哥德尔和科恩证明，AC 在 ZF 中是不可判定的（既不能被证明，也不能被证伪）。
实用性：现代数学的许多核心定理（如“每个向量空间都有基”、“任何环都有极大理想”）依赖 AC，因此它被广泛接受并成为标准（ZFC 中的 “C”）。
3. ZFC 的局限
不完备性：根据哥德尔不完备定理，如果 ZFC 是一致的，那么它无法证明自身的一致性。也存在一些数学命题（如连续统假设 CH）在 ZFC 中是不可判定的。
并非唯一选择：存在其他集合论基础，如 NBG（加入“真类”概念）或类型论。