物理 [微积分的那些事]-第一回目：极限-第三章：函数的连续性
3.1 连续性的直观引入
3.1.1 从生活中理解连续
气温变化：一天中的温度是连续变化的，不会从 $20^\circ C$ 瞬间跳到 $30^\circ C$
物体运动：汽车的位置随时间连续变化（除非有瞬移）
绘画线条：连续的笔画 vs 虚线（间断）
3.1.2 不连续的例子
阶梯函数：楼层高度是跳跃变化的
开关电路：电流从 $0$ 突然到最大值
取整函数：$y = [x]$（不超过 $x$ 的最大整数）
3.2 连续性的精确定义
3.2.1 基于极限的定义
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续 $\Leftrightarrow$ 满足以下三个条件：
$f(x_0)$ 有定义
$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在
$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
简洁表述：$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
3.2.2 增量形式定义
令 $\Delta x = x - x_0$，$\Delta y = f(x) - f(x_0)$
连续性 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$
几何意义：自变量微小变化引起函数值微小变化
3.2.3 $\varepsilon$-$\delta$ 语言定义
$f$ 在 $x_0$ 连续 $\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$
与极限定义的区别：
极限：$0 < |x - x_0| < \delta$（$x \neq x_0$）
连续：$|x - x_0| < \delta$（包含 $x = x_0$）
3.3 连续性的类型
3.3.1 点连续
在单一点处连续
例：$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \neq 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}$
在 $x = 1$ 处：$\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 1$，但 $f(1) = 2$，所以不连续
3.3.2 区间连续
开区间 $(a,b)$ 连续：在每一点都连续
闭区间 $[a,b]$ 连续：
在 $(a,b)$ 内每点连续
在 $a$ 点右连续
在 $b$ 点左连续
3.3.3 一致连续（高级概念，3.7节详讲）
更强的连续性，整个区间用同一个 $\delta$
3.4 间断点的分类
3.4.1 第一类间断点（左右极限都存在）
1. 可去间断点
左右极限相等，但不等于函数值（或函数值无定义）
特征：图像有个"洞"，可以填补
例1：$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x = 0$ 处
$f(0)$ 无定义
$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$
定义 $f(0) = 1$ 可使函数连续
例2：$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \neq 2 \\ 1, & x = 2 \end{cases}$
$\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 4$
$f(2) = 1$
改为 $f(2) = 4$ 可连续
2. 跳跃间断点
左右极限存在但不相等
特征：图像有"跳跃"
例1：符号函数 $\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$
右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} = 1$
左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} = -1$
跳跃度 $= 1 - (-1) = 2$
例2：取整函数 $f(x) = [x]$
在整数点处都是跳跃间断
如 $x = 1$ 处：右极限 $= 1$，左极限 $= 0$
3.4.2 第二类间断点（至少一侧极限不存在）
1. 无穷间断点
至少一侧极限为无穷大
特征：有垂直渐近线
例1：$f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处
右极限：$+\infty$
左极限：$-\infty$
例2：$f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ 在 $x = 0$ 处
两侧极限都是 $+\infty$
2. 振荡间断点
函数值无限振荡，无确定极限
特征：在一点附近无限次振荡
典型例子：$f(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 在 $x = 0$ 处
当 $x \to 0$ 时，$\dfrac{1}{x} \to \infty$，$\sin$ 在 $[-1,1]$ 间无限振荡
更复杂例子：$f(x) = \begin{cases} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$
虽然定义了 $f(0) = 0$，但极限不存在
3.4.3 间断点分类总结表
| 类型 | 必要条件 | 图像特征 | 例子 |
|---|---|---|---|
| 可去间断点 | 左右极限相等 $\neq$ 函数值 | 有洞 | $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ |
| 跳跃间断点 | 左右极限存在但不相等 | 跳跃 | $\operatorname{sgn}(x)$ 在 $x=0$ |
| 无穷间断点 | 至少一侧极限无穷 | 垂直渐近线 | $\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ |
| 振荡间断点 | 极限不存在且非跳跃 | 无限振荡 | $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 在 $x=0$ |
3.5 连续函数的运算性质
3.5.1 四则运算
如果 $f,g$ 在 $x_0$ 连续，则：
$f \pm g$ 在 $x_0$ 连续
$f \cdot g$ 在 $x_0$ 连续
$\dfrac{f}{g}$ 在 $x_0$ 连续（要求 $g(x_0) \neq 0$）
证明思路：利用极限的四则运算法则
3.5.2 复合函数连续性
如果：
$g$ 在 $x_0$ 连续，且 $g(x_0) = u_0$
$f$ 在 $u_0$ 连续
则 $f \circ g$ 在 $x_0$ 连续
符号：$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to x_0} g(x)\right) = f(g(x_0))$
应用：所有初等函数的复合都是连续的（在定义域内）
3.5.3 反函数连续性
如果 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调且连续，则其反函数 $f^{-1}$ 在 $f(I)$ 上也连续
例：
指数函数 $e^x$ 连续 $\Rightarrow$ 对数函数 $\ln x$ 连续
$\sin x$ 在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 连续 $\Rightarrow$ $\arcsin x$ 连续
3.6 初等函数的连续性
3.6.1 基本初等函数连续性
以下函数在其定义域内连续：
多项式函数：$P(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$（处处连续）
有理函数：$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$（在 $Q(x) \neq 0$ 处连续）
三角函数：$\sin x, \cos x, \tan x$（在定义域内）
反三角函数：$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$
指数函数：$a^x$（$a > 0, a \neq 1$）
对数函数：$\log_a x$（$a > 0, a \neq 1, x > 0$）
3.6.2 重要结论
所有初等函数在其定义域内都是连续的
初等函数 = 基本初等函数经过有限次四则运算和复合得到的函数
例：以下函数在定义域内连续：
$f(x) = e^x + \sin x \cdot \ln(1 + x^2)$
$f(x) = \arctan\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)$
$f(x) = (\sin x)^x$（$x > 0$）
3.7 闭区间上连续函数的性质
这是连续函数理论的精华部分！
3.7.1 有界性定理
若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界
注意：开区间不成立！
反例：$f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 连续但无界
3.7.2 最值定理（魏尔斯特拉斯定理）
若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上能取到最大值 $M$ 和最小值 $m$
即：$\exists x_1, x_2 \in [a,b]$，使得
$f(x_1) = M = \max{f(x) \mid x \in [a,b]}$
$f(x_2) = m = \min{f(x) \mid x \in [a,b]}$
几何意义：连续曲线在闭区间上一定有最高点和最低点
重要性：保证优化问题解的存在性
3.7.3 介值定理（波尔查诺定理）
若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$
则对于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意数 $C$，至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = C$
推论1（零点定理）：
若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$（异号）
则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = 0$
推论2：连续函数把区间映成区间
应用：证明方程根的存在性
3.7.4 一致连续性（康托定理）
若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续
一致连续 vs 点连续：
点连续：$\delta$ 依赖于点 $x_0$ 和 $\varepsilon$
一致连续：存在统一的 $\delta$，适用于区间内所有点
定义：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in [a,b]$，当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，$|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$
非一致连续的例子：$f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 连续但不一致连续
3.8 连续性的应用
3.8.1 证明方程根的存在性
例：证明方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 在 $(0,1)$ 内有根
证明：
令 $f(x) = x^3 - 3x + 1$
$f(0) = 1 > 0$
$f(1) = -1 < 0$
$f$ 在 $[0,1]$ 上连续
由零点定理，$\exists \xi \in (0,1)$ 使得 $f(\xi) = 0$
3.8.2 函数值分布
例：设 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，证明存在 $\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi) = \dfrac{f(a) + 2f(b)}{3}$
证明：令 $C = \dfrac{f(a) + 2f(b)}{3}$
考虑函数 $g(x) = f(x) - C$
证明 $g(a) \cdot g(b) \leq 0$，再用零点定理
3.8.3 不动点定理
若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，且 $f([a,b]) \subseteq [a,b]$，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi) = \xi$
应用：迭代法求方程解的理论基础
3.9 特殊函数的连续性讨论
3.9.1 狄利克雷函数
$D(x) = \begin{cases} 1, & x \text{为有理数} \\ 0, & x \text{为无理数} \end{cases}$
性质：在每一点都不连续
证明：任何点的任何邻域内既有有理数也有无理数
3.9.2 黎曼函数
$R(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{q}, & x = \dfrac{p}{q} \text{（既约分数）} \\ 0, & x \text{为无理数或} 0 \end{cases}$
性质：
在所有无理数点和 $x = 0$ 处连续
在所有非零有理数点间断（可去间断）
3.9.3 符号函数与取整函数
符号函数 $\operatorname{sgn}(x)$：在 $x = 0$ 处跳跃间断
取整函数 $[x]$：在所有整数点跳跃间断
3.10 连续函数的构造
3.10.1 连续函数的修补
给定间断函数，可通过重新定义函数值使其连续
例：$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，补充定义 $f(0) = 1$ 后连续
3.10.2 连续延拓
将函数连续地扩展到更大定义域
例：将 $f(x) = \sqrt{x}$ 从 $[0,\infty)$ 上的定义理解为其在 $x = 0$ 右连续的延拓
3.11 连续性证明方法总结
3.11.1 证明 $f$ 在 $x_0$ 连续的方法
$\varepsilon$-$\delta$ 法：直接验证定义
极限法：证明 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
左右极限法：证明左右极限都存在且等于 $f(x_0)$
已知结论法：利用初等函数连续性、四则运算、复合函数等结论
3.11.2 证明 $f$ 在 $x_0$ 不连续的方法
证明 $\displaystyle\lim f(x)$ 不存在
证明 $\displaystyle\lim f(x)$ 存在但不等于 $f(x_0)$
左右极限存在但不相等
找出一个 $\varepsilon$，对任意 $\delta$ 都存在 $x$ 满足 $|x - x_0| < \delta$ 但 $|f(x) - f(x_0)| \geq \varepsilon$