数学 例题收藏：)
这是一道关于数列有界性的经典例题，题目给出了一个递推数列：
$$
a_1 = a, \quad a_{n+1} = a_n^2 + a \quad (n \in \mathbb{N}^*)
$$
并定义集合：
$$
M = \left\{ a \in \mathbb{R} \mid \forall n \in \mathbb{N}^*,\ |a_n| \leq 2 \right\}
$$
即：当且仅当从初始值 $ a $ 出发，所有后续项 $ a_n $ 的绝对值都不超过 2 时，$ a \in M $。
我们来逐题解释老师在白板上的做法。
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### **第(1)问**：若 $ a \in (-\infty, -2) $，求证：$ a \notin M $
#### 老师的思路（手写部分）：
- 因为 $ a < -2 $，所以 $ |a| > 2 $
- 注意到 $ a_1 = a $，所以 $ |a_1| = |a| > 2 $
- 但集合 $ M $ 要求对所有 $ n $，都有 $ |a_n| \leq 2 $
- 所以 $ a_1 $ 已经不满足条件 → $ a \notin M $
✅ **结论正确**：因为第一项就超出了范围，所以 $ a \notin M $
> 这个证明非常直接。老师用的是“反证法”或“直接判断”的方式：只要有一项超出边界，就不属于 $ M $。
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### **第(2)问**：若 $ a \in \left( \frac{1}{4}, +\infty \right) $，试判断 $ a $ 与 $ M $ 的关系。
老师的目标是证明：**当 $ a > \frac{1}{4} $ 时，$ a \notin M $**，即这个数列最终会超出 $ |a_n| \leq 2 $ 的限制。
#### 分析过程（逐步展开）：
##### 第一步：分析数列单调性
已知：
$$
a_{n+1} = a_n^2 + a
$$
考虑差值：
$$
a_{n+1} - a_n = a_n^2 + a - a_n = a_n^2 - a_n + a
$$
但老师用了另一种方法，更巧妙地构造了表达式：
他写：
$$
a_{n+1} - a_n = a_n^2 - a_n + a = \left(a_n - \frac{1}{2}\right)^2 + a - \frac{1}{4}
$$
这是一个配方技巧！
验证一下：
$$
\left(a_n - \frac{1}{2}\right)^2 = a_n^2 - a_n + \frac{1}{4}
\Rightarrow a_n^2 - a_n + a = \left(a_n - \frac{1}{2}\right)^2 + a - \frac{1}{4}
$$
所以：
$$
a_{n+1} - a_n = \left(a_n - \frac{1}{2}\right)^2 + a - \frac{1}{4}
$$
由于平方项 $ \geq 0 $，而 $ a > \frac{1}{4} $，所以：
$$
a_{n+1} - a_n > a - \frac{1}{4} > 0
$$
→ 数列严格递增！
而且每一项的增量至少为 $ a - \frac{1}{4} $，即：
$$
a_{n+1} - a_n > a - \frac{1}{4}
$$
于是可以累加得到：
$$
a_{n+1} > a_1 + n\left(a - \frac{1}{4}\right)
$$
因为 $ a_1 = a $，所以：
$$
a_{n+1} > a + n\left(a - \frac{1}{4}\right)
$$
接下来老师说：当 $ n > \dfrac{2 - a}{a - \frac{1}{4}} $ 时，就会有：
$$
a_{n+1} > 2
$$
我们来详细解释这个不等式的来源。
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### 关键步骤：估计什么时候 $ a_n > 2 $
由上面：
$$
a_{n+1} > a + n\left(a - \frac{1}{4}\right)
$$
令右边大于 2：
$$
a + n\left(a - \frac{1}{4}\right) > 2
\Rightarrow n\left(a - \frac{1}{4}\right) > 2 - a
$$
因为 $ a > \frac{1}{4} $，所以 $ a - \frac{1}{4} > 0 $，两边可除：
$$
n > \frac{2 - a}{a - \frac{1}{4}}
$$
注意：这个分母是正的，分子 $ 2 - a $ 可能正也可能负。
- 若 $ a < 2 $，则 $ 2 - a > 0 $，右边为正 → 存在足够大的 $ n $ 使得不等式成立。
- 若 $ a \geq 2 $，则 $ 2 - a \leq 0 $，右边非正 → 不等式恒成立，即从一开始 $ a_1 = a \geq 2 $，已经可能超出范围。
但我们关注的是 $ a > \frac{1}{4} $，包括 $ a > 2 $ 和 $ \frac{1}{4} < a < 2 $ 的情况。
#### 情况一：$ a > 2 $
- $ a_1 = a > 2 $，所以 $ |a_1| > 2 $ → 直接推出 $ a \notin M $
#### 情况二：$ \frac{1}{4} < a < 2 $
- 初始 $ a_1 = a < 2 $，但数列递增，且增长速度至少为 $ a - \frac{1}{4} $
- 根据上面推导，存在某个 $ n $ 使得 $ a_n > 2 $
- 所以最终会超出边界 → $ a \notin M $
#### 情况三：$ a = 2 $
- $ a_1 = 2 $，$ a_2 = 2^2 + 2 = 6 > 2 $ → 超出 → $ a \notin M $
综上，**对于所有 $ a > \frac{1}{4} $**，数列要么一开始就超出，要么之后递增突破 2，因此：
> $ a \notin M $
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### 总结老师的解题策略：
1. **第(1)问**：直接观察 $ a < -2 \Rightarrow |a_1| > 2 \Rightarrow a \notin M $
2. **第(2)问**：
- 构造差值 $ a_{n+1} - a_n $
- 配方变形：$ a_{n+1} - a_n = \left(a_n - \frac{1}{2}\right)^2 + a - \frac{1}{4} $
- 得出：$ a_{n+1} - a_n > a - \frac{1}{4} > 0 $ → 数列严格递增
- 累加得下界：$ a_{n+1} > a + n(a - \frac{1}{4}) $
- 解不等式：当 $ n > \frac{2 - a}{a - \frac{1}{4}} $ 时，$ a_{n+1} > 2 $
- 所以无论 $ a > 2 $ 还是 $ \frac{1}{4} < a < 2 $，最终都会超出边界
- 结论：$ a \notin M $
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### 最终答案：
- (1) 若 $ a < -2 $，则 $ |a_1| > 2 $，故 $ a \notin M $
- (2) 若 $ a > \frac{1}{4} $，则数列递增且无界，必存在某项 $ |a_n| > 2 $，故 $ a \notin M $
所以：
$$
\boxed{a \notin M}
$$
对两个区间都成立。
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### 补充说明：
这个题目的核心思想是：
- 通过**构造差值**和**放缩**来研究数列的增长趋势
- 利用**配方法**简化表达式，提取关键量 $ a - \frac{1}{4} $
- 使用**数学归纳法思想**或**不等式放缩**来证明发散
这类问题常见于竞赛数学中，考察学生对递推数列的控制能力、代数变形能力和逻辑推理能力。