物理

[微积分的那些事]-第一回目：极限-第二章：极限的计算与重要极限

2.1 极限四则运算的深入分析

2.1.1 和差法则

如果 lim f(x) = L，lim g(x) = M，那么：lim [f(x) ± g(x)] = L ± M

注意：必须两个极限都存在才能使用。

2.1.2 乘积法则

lim [f(x)·g(x)] = L·M

证明关键技巧：|f(x)g(x) - LM| = |f(x)g(x) - Lg(x) + Lg(x) - LM|≤ |g(x)||f(x)-L| + |L||g(x)-M|

2.1.3 商法则

如果 M ≠ 0，那么：lim [f(x)/g(x)] = L/M

重要条件：分母极限不能为0。

2.2 复合函数极限定理

2.2.1 定理内容

如果：

1. lim g(x) = b

2. lim f(y) = L（当 y→b）

3. 在 x→a 的过程中，g(x) ≠ b那么：lim f(g(x)) = L

2.2.2 条件3的重要性

反例：f(y) = {0, y≠0; 1, y=0}，g(x) = x sin(1/x)虽然 lim g(x)=0，但 lim f(g(x)) 不存在，因为 g(x) 无限次取到0。

2.3 第一个重要极限：sinx/x

2.3.1 基本结论

lim (sin x)/x = 1 （x→0）

2.3.2 几何证明概要

1. 画单位圆，设圆心角为 x（弧度）

2. 比较三个面积：

   • 小三角形面积 = (1/2) sin x

   • 扇形面积 = (1/2) x

   • 大三角形面积 = (1/2) tan x

3. 得到：sin x < x < tan x

4. 整理：cos x < sin x/x < 1

5. 由夹逼定理得极限为1

2.3.3 扩展形式

1. lim (tan x)/x = 1

2. lim (1 - cos x)/x² = 1/2

3. lim (arcsin x)/x = 1

4. lim (arctan x)/x = 1

2.3.4 应用示例

例：求 lim (sin 3x)/(sin 5x) （x→0）解：= lim [(sin 3x)/(3x)]·[(5x)/(sin 5x)]·(3/5) = 1×1×3/5 = 3/5

2.4 第二个重要极限：自然常数 e

2.4.1 e 的定义

e = lim (1 + 1/n)^n （n→∞）数值约等于 2.718281828459045...

2.4.2 等价形式

1. lim (1 + x)^(1/x) = e （x→0）

2. e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... （级数形式）

2.4.3 为什么 e 重要？

因为函数 f(x) = e^x 的导数等于它自身：f'(x) = e^x

2.4.4 相关极限公式

1. lim (1 + a/x)^(bx) = e^(ab) （x→∞）

2. lim (a^x - 1)/x = ln a （x→0，a>0）

3. 特别地，lim (e^x - 1)/x = 1

2.4.5 应用示例

例1：求 lim (1 + 2/x)^(3x) （x→∞）解：= e^(2×3) = e^6

例2：求 lim (e^(2x) - 1)/x （x→0）解：= 2 × lim (e^(2x) - 1)/(2x) = 2×1 = 2

2.5 等价无穷小替换

2.5.1 定义

如果 lim α(x)/β(x) = 1（x→a），称 α(x) 与 β(x) 是等价无穷小，记作 α(x) ∼ β(x)

2.5.2 常用等价无穷小（x→0）

1. sin x ∼ x

2. tan x ∼ x

3. arcsin x ∼ x

4. arctan x ∼ x

5. e^x - 1 ∼ x

6. ln(1+x) ∼ x

7. 1 - cos x ∼ (1/2)x²

8. (1+x)^α - 1 ∼ αx

2.5.3 使用原则

1. 只能用于乘除运算中的因子替换

2. 不能在加减运算中单独替换

3. 复合函数的内层替换要谨慎

2.5.4 正确示例

求 lim (tan x - sin x)/x³ （x→0）解：原式 = lim [sin x(1/cos x - 1)]/x³= lim [sin x(1-cos x)]/(x³ cos x)= lim (x·(x²/2))/(x³·1) = 1/2

2.6 极限计算的常见类型

2.6.1 0/0型

策略：因式分解、有理化、等价无穷小替换

例：lim (x² - 1)/(x - 1) （x→1）解：= lim (x-1)(x+1)/(x-1) = lim (x+1) = 2

2.6.2 ∞/∞型

策略：比较最高次项

例：lim (3x²+2x+1)/(2x²-x+3) （x→∞）解：分子分母同除以 x²：= (3+2/x+1/x²)/(2-1/x+3/x²) → 3/2

2.6.3 ∞ - ∞型

策略：通分、有理化、提取公因式

例：lim [1/(x-1) - 2/(x²-1)] （x→1）解：通分 = lim [(x+1)-2]/(x²-1) = lim (x-1)/(x²-1) = lim 1/(x+1) = 1/2

2.6.4 1^∞型

策略：化为 e 的指数形式

公式：lim [1+α(x)]^β(x) = e^[lim α(x)β(x)]，其中 α(x)→0

2.6.5 0^0型和∞^0型

策略：取对数化为 0·∞型

2.7 有理化技巧

2.7.1 分子有理化

例：lim [√(x+1) - 1]/x （x→0）解：分子分母同乘 [√(x+1)+1]= lim [(x+1)-1]/[x(√(x+1)+1)] = lim x/[x(√(x+1)+1)] = lim 1/(√(x+1)+1) = 1/2

2.7.2 分母有理化

例：lim x[√(x²+1) - x] （x→∞）解：= lim x[(x²+1)-x²]/[√(x²+1)+x] = lim x/[√(x²+1)+x]= lim 1/[√(1+1/x²)+1] = 1/2

2.8 极限存在性判定定理

2.8.1 夹逼定理（复习）

如果：g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 lim g(x) = lim h(x) = L那么：lim f(x) = L

2.8.2 单调有界原理

单调递增且有上界的数列必有极限。单调递减且有下界的数列必有极限。

应用：证明数列 a_n = (1+1/n)^n 收敛（极限定义为 e）

2.8.3 柯西收敛准则

数列 {a_n} 收敛的充要条件：对于任意 ε>0，存在 N，使得当 m,n>N 时，|a_m - a_n| < ε

2.9 常见错误与陷阱

2.9.1 未验证前提条件

错误：直接使用 lim [f(x)/g(x)] = [lim f(x)]/[lim g(x)] 而不验证 lim g(x) ≠ 0

2.9.2 忽略左右极限

函数 f(x) = |x|/x 在 x=0 处：

• 右极限：lim_{x→0+} = 1

• 左极限：lim_{x→0-} = -1

• 整体极限不存在

2.9.3 滥用运算法则

错误：认为 lim [f(x)+g(x)] 一定不存在如果 lim f(x) 和 lim g(x) 都不存在反例：f(x)=1/x，g(x)=-1/x，lim [f(x)+g(x)] = 0 存在

2.9.4 错误使用等价无穷小

在加减运算中单独替换导致错误。

2.10 数值计算方法

2.10.1 逼近策略

对于复杂极限，可用数值逼近：

1. 从左、右两侧分别取点

2. 逐渐缩小步长

3. 观察收敛趋势

2.10.2 示例

估计 lim (e^x - 1 - x)/x² （x→0）

数值表：x f(x)0.1 0.5170.01 0.50170.001 0.500170.0001 0.500017

猜测极限为 0.5，理论值确实是 1/2。

2.11 极限思维与微积分展望

2.11.1 极限的三个层次

1. 计算技巧：各种类型的解法

2. 理论理解：严格定义与证明

3. 应用思维：实际问题转化

2.11.2 向导数过渡

导数定义：f'(x) = lim [f(x+Δx)-f(x)]/Δx （Δx→0）这是 0/0 型极限，需要极限理论为基础。

2.11.3 向积分过渡

定积分定义：∫_a^b f(x)dx = lim Σ f(ξ_i)Δx_i这是无穷求和的极限，需要极限运算理论。