物理 [微积分的那些事]-第一回目：极限-第一章：极限思想的萌芽——从直觉到精确
这个系列很长，我手要抗议了，所以频率就别想了
1.1 为什么我们需要极限？
让我们从一个古老的问题开始："芝诺悖论"之阿基里斯追乌龟：
阿基里斯速度是乌龟的10倍
乌龟先跑100米
当阿基里斯跑到100米处，乌龟又跑了10米
当阿基里斯跑到110米处，乌龟又跑了1米
如此往复...阿基里斯永远追不上乌龟？
直觉告诉我们：阿基里斯当然能追上。但如何用数学严格证明这个直觉？答案就是极限。当我们将追赶过程无限细分，这些无限多个时间间隔的和会收敛到一个有限值。
1.2 极限的直观引入
例1：渐近线的体验考虑函数 f(x) = 1/x，当 x 变得越来越大：
x = 10，f(x) = 0.1
x = 100，f(x) = 0.01
x = 1000，f(x) = 0.001
...
我们发现，随着 x 无限增大（记作 x → +∞），f(x) 无限接近 0。我们说：当 x 趋向正无穷时，1/x 的极限是 0。
例2：填补空洞考虑 g(x) = sin(x)/x 在 x=0 附近：
在 x=0 处，表达式为 0/0，无定义
但当 x 接近0时：
x = 0.1，g(0.1) ≈ 0.99833
x = 0.01，g(0.01) ≈ 0.99998
x = 0.001，g(0.001) ≈ 0.9999998
虽然 g(0) 不存在，但当 x 无限接近0时，g(x) 无限接近1。我们说：当 x 趋向 0 时，sin(x)/x 的极限是 1。
1.3 极限的严格定义（ε-δ 语言）
19世纪，柯西、魏尔斯特拉斯等人给出了严格的定义：
函数极限的精确定义：设函数 f(x) 在点 a 的某个去心邻域内有定义。若对任意 ε > 0（无论多小），总存在 δ > 0，使得当 0 < |x-a| < δ 时，恒有 |f(x) - L| < ε，则称当 x 趋于 a 时，f(x) 的极限为 L。
符号表示：lim_{x→a} f(x) = L
理解这个定义的关键点：
ε 是什么？
ε（读作"伊普西隆"）代表你要求的精度
比如 ε = 0.001 表示：f(x) 与 L 的距离要小于 0.001
δ 是什么？
δ（读作"德尔塔"）代表 x 与 a 的距离范围
这是为了实现精度要求而找到的控制范围
逻辑关系：
你先给我一个精度要求 ε
我根据这个 ε 找到一个范围 δ
只要 x 在 (a-δ, a) 或 (a, a+δ) 内（注意：x ≠ a）
我就能保证 f(x) 与 L 的距离小于 ε
几何解释（用坐标系想象）：
在 y=L 上下各画一条平行线：y = L+ε 和 y = L-ε这样就形成了一个"横向带"，高度为 2ε
在 x=a 左右各画一条竖直线：x = a-δ 和 x = a+δ这样就形成了一个"纵向带"，宽度为 2δ
这两个带子交叉形成一个"窗口"
极限定义要求：无论你把横向带做得多窄（ε 多小），我总能找到足够窄的纵向带（某个 δ），使得函数图像在纵向带内的部分（除了 x=a 这个点本身）完全落在横向带内。
1.4 用定义证明极限的例子
例：证明 当 x 趋向 2 时，3x-1 的极限是 5。
证明过程：
目标：对于任意 ε > 0，找到 δ > 0，使得当 0 < |x-2| < δ 时，有 |(3x-1) - 5| < ε
先做代数变形：|(3x-1) - 5| = |3x - 6| = 3|x - 2|
观察：要使 3|x-2| < ε，只需 |x-2| < ε/3
构造：取 δ = ε/3
验证：对于任意给定的 ε > 0，取 δ = ε/3，则当 0 < |x-2| < δ 时：|(3x-1) - 5| = 3|x-2| < 3 × (ε/3) = ε这正是我们想要的。
结论：根据极限定义，当 x 趋向 2 时，3x-1 的极限是 5。
1.5 单侧极限：左顾右盼
有时函数从左边和右边趋近于某点时行为不同：
例：符号函数 sgn(x) =当 x > 0 时，值为 1当 x = 0 时，值为 0当 x < 0 时，值为 -1
右极限（从正方向）：当 x 从右边趋向 0 时，sgn(x) 趋向 1
左极限（从负方向）：当 x 从左边趋向 0 时，sgn(x) 趋向 -1
重要定理：函数在某点极限存在的充要条件是：左极限 = 右极限 = 同一个值
对于符号函数，左右极限不相等（1 ≠ -1），所以在 x=0 处极限不存在。1.6 极限的四则运算法则（补充详细证明）如果已知：lim_{x→a} f(x) = Llim_{x→a} g(x) = M
那么有以下法则：
- 和差法则：lim_{x→a} [f(x) ± g(x)] = L ± M
证明思路：对于任意 ε > 0，因为 f(x) → L，存在 δ₁ 使得当 0<|x-a|<δ₁ 时，|f(x)-L| < ε/2因为 g(x) → M，存在 δ₂ 使得当 0<|x-a|<δ₂ 时，|g(x)-M| < ε/2取 δ = min(δ₁, δ₂)，则当 0<|x-a|<δ 时：|[f(x)±g(x)] - (L±M)| ≤ |f(x)-L| + |g(x)-M| < ε/2 + ε/2 = ε
乘积法则：lim_{x→a} [f(x)·g(x)] = L·M
商法则（当 M ≠ 0 时）：lim_{x→a} [f(x)/g(x)] = L/M
幂法则：lim_{x→a} [f(x)]ⁿ = Lⁿ （n为正整数）
1.6 极限的四则运算法则
如果已知：lim_{x→a} f(x) = Llim_{x→a} g(x) = M
那么有以下法则：
- 和差法则：lim_{x→a} [f(x) ± g(x)] = L ± M
证明思路：对于任意 ε > 0，因为 f(x) → L，存在 δ₁ 使得当 0<|x-a|<δ₁ 时，|f(x)-L| < ε/2因为 g(x) → M，存在 δ₂ 使得当 0<|x-a|<δ₂ 时，|g(x)-M| < ε/2取 δ = min(δ₁, δ₂)，则当 0<|x-a|<δ 时：|[f(x)±g(x)] - (L±M)| ≤ |f(x)-L| + |g(x)-M| < ε/2 + ε/2 = ε
乘积法则：lim_{x→a} [f(x)·g(x)] = L·M
商法则（当 M ≠ 0 时）：lim_{x→a} [f(x)/g(x)] = L/M
幂法则：lim_{x→a} [f(x)]ⁿ = Lⁿ （n为正整数）
1.7 夹逼定理（三明治定理）
定理内容：如果在点a的某个去心邻域内，有：h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)且 lim_{x→a} h(x) = lim_{x→a} g(x) = L那么 lim_{x→a} f(x) = L
经典应用：证明 lim_{x→0} (sin x)/x = 1
完整证明：
考虑单位圆，圆心角 x（弧度）
比较三个面积：
三角形 OAB 面积 = (1/2)sin x
扇形 OAB 面积 = (1/2)x
三角形 OAC 面积 = (1/2)tan x
得到不等式：(1/2)sin x < (1/2)x < (1/2)tan x
整理：sin x < x < tan x
取倒数：1/sin x > 1/x > cos x/sin x
乘以 sin x：1 > (sin x)/x > cos x
当 x→0 时，cos x → 1
由夹逼定理得：(sin x)/x → 1
1.8 第二个重要极限：自然常数e定义：
e = lim_{n→∞} (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.718281828459045...
数值验证表：n (1+1/n)^n
1 2
10 2.5937424601
100 2.7048138294
1000 2.7169239322
10000 2.7181459268
100000 2.7182682372
1000000 2.7182804693
等价形式：lim_{x→0} (1 + x)^{1/x} = e
为什么e如此重要？因为函数 f(x) = eˣ 具有以下神奇性质：
它的导数等于它自身：f'(x) = eˣ
它的积分也等于它自身（加常数）：∫ eˣ dx = eˣ + C
在复变函数中：e^{iθ} = cos θ + i sin θ（欧拉公式）
1.9 无穷小量的比较理论
当 lim_{x→a} α(x) = 0 时，称 α(x) 是 x→a 时的无穷小量。
比较两个无穷小量 α(x) 和 β(x)：
高阶无穷小：如果 lim α(x)/β(x) = 0
记作：α(x) = o(β(x))
例：当 x→0 时，x² 是比 x 高阶的无穷小
同阶无穷小：如果 lim α(x)/β(x) = c ≠ 0
例：当 x→0 时，sin(2x) 与 2x 是同阶无穷小
等价无穷小：如果 lim α(x)/β(x) = 1
记作：α(x) ∼ β(x)
例：当 x→0 时，sin x ∼ x
常用等价无穷小（当 x→0 时）：
sin x ∼ x
tan x ∼ x
arcsin x ∼ x
arctan x ∼ x
eˣ - 1 ∼ x
ln(1+x) ∼ x
1 - cos x ∼ (1/2)x²
(1+x)ᵃ - 1 ∼ ax （a为常数）
应用技巧：在乘除运算中，等价无穷小可以互相替换，简化计算。
例：求 lim_{x→0} (tan 3x)/(sin 5x)解：当 x→0 时，tan 3x ∼ 3x，sin 5x ∼ 5x所以 原式 = lim_{x→0} (3x)/(5x) = 3/5
注意：在加减运算中不能随意替换！
1.10 连续性的深入探讨定义回顾：
函数 f(x) 在 x=a 处连续 ⇔f(a) 有定义
lim_{x→a} f(x) 存在
lim_{x→a} f(x) = f(a)
间断点分类详解：
第一类间断点（左右极限都存在）：
可去间断点：左右极限相等，但不等于函数值（或函数值无定义）
例：f(x) = (sin x)/x 在 x=0 处（定义 f(0)=1 可使其连续）
特点：图像有个"洞"，可以填补
跳跃间断点：左右极限存在但不相等
例：符号函数 sgn(x) 在 x=0 处
特点：图像有个"跳跃"
第二类间断点（至少一侧极限不存在）：
无穷间断点：至少一侧极限为无穷大
例：f(x) = 1/x 在 x=0 处
特点：图像有垂直渐近线
振荡间断点：函数值无限振荡，无确定极限
例：f(x) = sin(1/x) 在 x=0 处
特点：在0附近无限次振荡
连续函数的性质：
局部有界性：在连续点附近，函数值不会无限增大
保号性：如果 f(a) > 0，那么在 a 附近 f(x) > 0
介值定理：如果 f 在 [a,b] 上连续，且 f(a) < k < f(b)，那么在 (a,b) 内至少有一点 c 使得 f(c) = k
最值定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值
所有初等函数（多项式、指数、对数、三角函数等）在其定义域内都是连续的。
1.11 极限计算技巧总结类型一：
0/0型策略：因式分解、有理化、使用等价无穷小
例：lim_{x→1} (x² - 1)/(x - 1)= lim_{x→1} (x-1)(x+1)/(x-1)= lim_{x→1} (x+1) = 2
类型二：∞/∞型策略：分子分母同除以最高次幂
例：lim_{x→∞} (3x² + 2x + 1)/(2x² - x + 3)= lim_{x→∞} (3 + 2/x + 1/x²)/(2 - 1/x + 3/x²) = 3/2
类型三：∞ - ∞型策略：通分或有理化
例：lim_{x→1} [1/(x-1) - 2/(x²-1)]= lim_{x→1} [(x+1)-2]/(x²-1)= lim_{x→1} (x-1)/(x²-1) = lim_{x→1} 1/(x+1) = 1/2
类型四：1^∞型策略：使用重要极限 lim_{x→0} (1+x)^{1/x} = e
例：lim_{x→∞} (1 + 2/x)^x= lim_{x→∞} [(1 + 2/x)^{x/2}]² = e²
1.12 函数极限的扩展形式
x→∞ 时的极限：lim_{x→+∞} f(x) = L ⇔对于任意 ε>0，存在 M>0，使得当 x>M 时，|f(x)-L|<ε
无穷大量的极限：lim_{x→a} f(x) = ∞ ⇔对于任意 N>0，存在 δ>0，使得当 0<|x-a|<δ 时，f(x)>N
单侧极限的严格定义：
右极限：lim_{x→a⁺} f(x) = L ⇔对于任意 ε>0，存在 δ>0，使得当 0<x-a<δ 时，|f(x)-L|<ε
左极限：lim_{x→a⁻} f(x) = L ⇔对于任意 ε>0，存在 δ>0，使得当 0<a-x<δ 时，|f(x)-L|<ε
$\huge{我的手啊！！！}$