物理

论不等式的证明方法（2）

由于昨天帖子没有复制，故开

写完退坛勿念

回到昨天的题目

我们处理这种式子时可以牢记

$x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=\dfrac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge 0$

观察便可以发现这道题目迎刃而解

证明：$LHS-RHS=$

$\sum_{cyc}\left[\dfrac{b}{b+c}x^2+\dfrac{a}{c+a}y^2-2\sqrt{\dfrac{ab}{(b+c)(c+a)}xy} \right]$

此式＝$\sum_{\text{cyc}} ab\left[\dfrac{x}{\sqrt{a(b+c)}}-\dfrac{y}{\sqrt{b(c+a)}}\right]^2$ $\ge 0$

故原式成立。

2.放缩法

有时我们想要证明$A\le B$，是一件比较困难的事，那么我们可以找一个中间量C，使$A\le C,C\le B同时成立$

此时就一定会有$A\le B$成立，但是放缩法的技巧性很强，但总体而言是巧妙的。

其他方法等我进省队再讲，Bye。