数学

论一下不等式的处理

参考资料－《不等式》 《上海中学数学竞赛》

1.熟练掌握不等式及其变形，这是极其重要的，以下列出常见不等式

 1.1-1均值不等式：

$对于非负实数a_1 ,a_2,\dots ,a_n,$

$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}} \le \sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n} \le \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \le \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}}$

1.1-2 $Cauchy 不等式$

$设a_1,a_2,\dots,a_n \in \mathbb{R}$,$b_1,b_2,\dots,b_n\in \mathbb{R}$则有

$\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \ge \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2$

$等号成立时存在实数k使a_i=kb_i,或所有b_i=0$

1.1-3$Jensen不等式$

$设f(x)是区间I上的凸函数，则对于任意点x_1,x_2,\dots,x_n\in I$和任意满足$\lambda_i \ge 0$且$\sum_{i=1}^n \lambda_i=1的实数\lambda_1,\lambda_2\dots \lambda_n$有

$f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)$

$若f是凹函数，则不等号反向$

$当x_1=x_2=\cdots =x_n$或$f$为仿射线性$(f(x)=kx+b)$函数时取等

论坛不支持LaTeX绘图，用Overleaf画了发不上来。

由于我认为其他不等式我待会肯定要再打，所以我现在不补充。

2 处理方法

2.1 比较法（差，商）

  处理思路，

（1）欲证明$A\ge B,则只需A-B\ge 0$

（2）若B>0,$欲证明A\ge B,只需证明\dfrac{A}{B}\ge 1$

$例题T_1:$ $设a,b,c\in \mathbb{R}_+,证明，对于任意实数x,y,z有：$

$x^2+y^2+z^2\ge 2\sqrt{\dfrac{abc}{(a+b)(a+c)(c+a)}} \left(\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}xy+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}yz+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}zx\right)$

指出等号成立的必要条件