物理

量子力学①：黑体辐射与光电效应

引言：物理学一直有一个笑话，在二十世纪初，物理学的天空上只有两朵乌云：黑体辐射和光电效应。而到了现在，物理学的天空却已经是乌云密布。而本帖就是要来介绍这片乌云的“万恶之源”黑体辐射和光电效应。

$\huge{Part1.黑体辐射}$

①黑体：

我们都知道一个物体之所以看上去是白色，是因为他反射所有频率的光波，反之如果看上去是黑色的，是因为吸收了所有频率的光波。因此黑体在物理上就被定义为在任何温度下，都能完全吸收外界入射的所有频率的的电磁辐射，并且不发生反射和透射的理想物体。

②紫外灾难

19世纪末，人们开始对黑体模型的热辐射问题发生兴趣。其实，很早的时候，人们就已经注意到：对不同的物体，热和辐射频率似乎有一定的对应关联。比如金属，有过生活经验的人都知道，要是我们把一块铁放在火上加热，那么到了一定温度的时候，它会变得暗红起来（其实在这之前有可见的红外线辐射），温度再高些，它会变得橙黄，到了极度高温的时候，如果能想办法不让它汽化了，我们可以看到铁块将呈现蓝白色。也就是说：物体的辐射能量、频率和温度之间有着一定的函数关系（在天文学里，有“红巨星”和“蓝巨星”，前者呈暗红色，温度较低，通常属于老年恒星；而后者的温度较高，是年轻恒星的典型）。

问题是：物体的辐射能量和温度究竟有着怎样的函数关系呢？而许多最初对于黑体辐射的研究是基于经典热力学的基础之上的，而许多著名的科学家在此之前也已经做了许多准备工作。美国人兰利（Samuel Pierpont Langley）发明的热辐射计是最好的测量工具，配合罗兰四面体，可以得到相当精确的热辐射能量分布曲线。“黑体辐射”这个概念则是由伟大的基尔霍夫提出，并由斯特藩（Josef Stefan）加以总结和研究的。到了19世纪90年代，玻尔兹曼建立了他的热力学理论，种种迹象也表明，这是黑体辐射研究的一个强大理论武器。总而言之，这一切都是威廉·维恩（Wilhelm Wien）准备从理论上推导黑体辐射公式的时候，物理界在这一课题上的一些基本背景。

维恩于1864年1月13日出生于东普鲁士，是当地一个农场主的儿子。在海德堡、哥廷根和柏林大学度过了他的学习生涯并取得博士学位之后，维恩先是回到故乡，经营父业，一本正经地管理起了家庭农场。眼看他的此注主要成为下一代农场主，1890年的一份合同改变了他和整个热力学的命运。德国帝国技术研究所（Physikalisch-Technische Reichsanstalt，PTR）邀请他加入作为爱德曼兹的助手，担任亥姆霍兹实验室的主管研究员。考虑到当时的经济危机，维恩接受了这个合同。就是在柏林的这个实验室里，他准备一展自己在理论和实验物理方面的天赋，彻底解决黑体辐射这个问题。

维恩从经典热力学的思想出发，假设黑体辐射是由一些服从麦克斯韦速率分布的分子发射出来的，然后通过精密的演算，他终于在1894年提出了他的辐射能量分布定律公式：

$ρ=bλ^{-5}e^{-\frac{a}{λt}}$

其中ρ表示能量分布的函数，λ是波长，T是绝对温度，a、b是常数。

这就是著名的维恩分布公式。很快，另一位德国物理学家帕邢（Friedrich Paschen）在兰利的基础上对各种固体的热辐射进行了测量，结果很好地符合了维恩的公式，这使得维恩取得了初步胜利。

然而，维恩却面临着一个基本的难题：他的出发点似乎和公认的现实格格不入，换句话说，他的分子假说使得经典物理学家们十分不舒服。因为辐射是电磁波，而大家已经都知道，电磁波是一种波动。用经典粒子的方法分析，似乎让人感到隐秘地有些不对劲，有一种南辕北辙的味道。

果然，维恩在帝国技术研究所（PTR）的同事很快就做出了另外一个实验。卢梅尔（Otto Richard Lummer）和普林舍姆（Ernst Pringsheim）于1899年报告，当把黑体加热到1000多K的高温时，测到的短波长范围内的曲线和维恩公式符合得很好，但在长波方面，实验和理论出现了偏差。很快，PTR的另两位成员鲁本斯（Heinrich Rubens）和库尔班（Ferdinand Kurlbaum）扩大了波长的测量范围，再次肯定了这个偏差，并得出结论：能量密度在长波范围内应该和绝对温度成正比，而不是维恩所预言的那样，当波长趋向无穷大时，能量密度和温度无关。在19世纪的最末几年，PTR这个由西门子和亥姆霍兹所创办的机构似乎成为热力学领域内最引人注目的地方，这里的这群理论与实验物理学家，似乎正在揭开了一个物理内最大的秘密。

维恩定律在长波内的失效引起了英国物理学家瑞利的注意。他试图修改公式以适应ρ和T在高温长波下成正比这一实验结论。瑞利的做法是抛弃玻尔兹曼的分子运动假设，简单地从经典的麦克斯韦理论出发，最终他也得出了自己的公式。后来，另一位物理学家金斯（James H. Jeans）计算出了公式里的常数，最后他们得到的公式形式如下：

这就是我们今天所说的瑞利—金斯（Rayleigh-Jeans）公式，其中ν是频率，k是玻尔兹曼常数，c是光速。

$ρ=\frac{8πv^2}{c^3}kT$

这样一来，就从理论上证明了ρ和T在高温长波范围内成正比的实验结果。但是，也许就像俗语所说的样子，瑞利—金斯公式是一个拆东墙补西墙的典型。因为非常具有讽刺意味的是，它在长波方面虽然符合了实验数据，但在短波方面的失败却是显而易见的。当波长λ趋于0，也就是频率ν趋向无穷大时，我们从上面的公式可以明显地看出：能量将无限制地呈指数式增长。这样一来，黑体在它的短波，也就是高频频段就将释放出无穷大的能量来！

这个戏剧性的事件无疑是荒谬的，因为谁也没见过任何物体在任何温度下这样地释放能量辐射（如果真是这样的话，那么我们何必辛辛苦苦地去造什么原子弹）。该推论后来被奥地利物理学家埃仑费斯特（Paul Ehrenfest）加上了一个耸人听闻的、十分适合在科幻小说里出现的称呼，叫做“紫外灾变”（ultraviolet catastrophe）。显然，瑞利—金斯公式也无法给出正确的黑体辐射分布。