数学

那年那些几何⚪

有几何好题或其他芝士🧀可发评论区(贴主也会发)(这个贴主也是又更上了🙃)

此帖主要展示一些贴主发现或看到的几何模型及讲解，例题，难度中等，不定时更新，适合学了一段时间几何的竞赛僧(对其中题目有不同证法的或有错误的欢迎发表😀)(由于一些证明过程复杂，所以显然的部分会略加简写)

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第一个构型是贴主偶然发现的，并拟写了一道题。

在此构型中，我们不难发现P、Q、F、E四点共圆（自证)，而且我们发现连接MN, 似乎MN∥AB，借此我们再猜测M、 N、 F 、E四点共圆，如果共圆成立，那么平行也就显然了，我们给出如下证明：

(贴主也有纯几证法但上述证法相对简单，便不多加赘述，只需做出内心I，证明I为ΔDEF垂心，再倒角即可)

由此出出一道题，知道上述构型后此题难度不高，但若不知道，则较难解决，题目如下：

证明：

(若未学过反演，也可用相似证明第三个共圆，贴主同学证的)

(感觉第一个构型和例题是不是简单了一些😥😥😥)

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这是伊朗2016中级几何第5题(而贴主也多次看到这个结构)，做完后我想便研究此图有什么神奇的性质

此题解法(更多解法详见数之谜♿♿♿)

于是like this

有P，Q，M，N共圆(ΔABD∼ΔCBA;  P,Q;O₁,O₂为位似对应点 ;  且P,Q,O₁,O₂四点共圆.   即证)

(关于这个构型的性质贴主目前没太多想法☹️)

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下一个吧😶😶😶也是双圆(这个是在万喜人绿本里的)

在上图中我们发现很多性质：

(ⅰ) B、C、P、K四点共圆

(ⅱ) D、E、K、P四点共圆

(ⅲ)∠BAP=∠CAK(原题要证)

不想码字直接发答案吧🤤🤤🤤

然后我们设两圆另一交点为F

发现BP、DC； BK、BE分别与两圆交于同一点

倒角即可：

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这里放个贴主做法，也可以反演做