物理

极简实分析

实分析的开端

在第二次数学危机后

人们不断完善微积分以及各种分析方式

发现了以下问题：

1，已知极限

$L=\lim_{x \to \infty} x^n$

做代换得

$xL=x\lim_{x \to \infty} x^n=\lim_{x \to \infty} x^{n+1}=\lim_{x \to \infty} x^n=L$

若$L=0$

则当$x=1$时$L=1$(此时此极限并不发散）

若$L$不等于$0$

则对于$\forall x\le 1$($x$为正数）

均有$x=1$

即$1=0=2=3=4=5=6=...$

这很显然是荒谬的

2，已知被积函数

$f(x,y)=e^{-xy}-xye^{-xy}$

然后分别计算

$\int^{\infty}_0 \int^1_0f(x,y)dydx$

和

$\int^1_0 \int^{\infty}_0f(x,y)dxdy$

分别得到积分值为$1$和$0$

可是我们知道这两个积分是等价的

所以$1=0$?

这很显然也是荒谬的

3，已知

极限$L=\lim_{x \to \infty} sinx$

则不难得到

$L=-L$

即

$L=0$

那么我们再用诱导公式计算

$P=\lim_{x \to \infty} cosx$

得到

$P=0$

那么

$\lim_{x \to \infty} sin^2 x +cos^2 x =0$

可是我们知道$sin^2 x +cos^2 x =1$

所以$0=1$?

这显然仍然是荒谬的

而实分析，正是将这些荒谬的结论规范化，将看似可以的操作规范化，将模糊的理论严谨化的过程