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一.集合与逻辑
1.集合
(1)定义:一些元素组成的整体叫做集合。
(2)集合内部元素与集合的关系: 1.属于:$\in$ 2.不属于:$\notin$
常见集合用语:1.自然数集:$N$ 2.正整数集:$N+$ 3.整数集:$Z$ 4.有理数:$Q$ 5.实数集:$R$
注意:构成集合的元素必须是确定的。
集合内元素的三大特性:确定性，互异性，无序性
确定性:集合中的每个元素都是确定的，要么$\in A$,要么$\notin A$。
互异性:集合中的元素没有相同的，同一个元素只能出现一次。
无序性:集合中的元素没有先后顺序。
(3)描述法与列举法
引例:表示出不大于16的非负偶数
列举法表示:｛0,2,4,6,8,10,12,14,16｝;
表示出$x^2+ax+b$的解集
描述法:｛x | $x^2+ax+b$｝
2025.11.29日一更
一.集合与逻辑
4.子集与真子集，子集记作A⊆B或B⊇A，如果A⊆B，且A≠B，则称A是B的真子集
如果A⊆B且B⊆A，则A=B
结论：若集合A中有n个元素，那么集合A有$2^n$个子集，有$2^{n-1}$个真子集
空集∅：空集是不含任何元素的集合；空集是任何集合的子集；空集是任何非空子集的真子集。
5.交集与并集
交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B
即为A∩B={x | x∈A且x∈B}
并集：有属于集合A或属于集合B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B
即为A∪B={x | x∈A或x∈B}
交并集内部的运算法则
A∪A=A；A∩A=A；A∪∅=A；A∩∅=∅；
若A∪B=B，则A⊆B；若A∩B=B，则B⊆A。
真子集的写法(打不出来)
2025.11.30日第二更
预计今晚第三更，预告：下期将会有全集，补集，容斥原理
一.集合与逻辑
6.全集与补集
全集：如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 $U$；
补集：对于一个集合 $A$，由全集 $U$ 中不属于集合 $A$ 的所有元素组成的集合称为集合 $A$ 相对于全集 $U$ 的补集，简称为集合 $A$ 的补集，记作 $C_U A$。
符号表示为：若 $A \subseteq U$，$B \subseteq U$，$C \subseteq U$，…，则 $U$ 为全集，
$ C_U A = \{x \mid x \in U, \text{且 } x \notin A\} $
$A \cap (C_U A) = \varnothing \quad C_U U = \varnothing \quad C_U \varnothing = U$
$A \cup (C_U A) = U \quad C_U (C_U A) = A$
$C_U (A \cap B) = (C_U A) \cup (C_U B), \quad C_U (A \cup B) = (C_U A) \cap (C_U B)$
数集：$\{x \mid p(x)\}$
点集：$\{(x, y) \mid p(x, y)\}$（方程组解集或曲线交点坐标）
有限集：含有有限个元素的集合，用 $\mathrm{card}(A)$ 来表示有限集合中元素的个数。如 $A = \{a, b, c\}$，则 $\mathrm{card}(A) = 3$。
容斥原理：
$\mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) - \mathrm{card}(A \cap B) $
当且仅当 $A \cap B = \varnothing$ 时，
$\mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) = \mathrm{card}(A \cup B)$
集合部分到此结束，题目练习如下：
1.已知全集 $ U = \{1, 2, 3, 4, 5\} $，集合 $ A = \{1, 2, 3\} $，$ B = \{2, 3, 4\} $。求：
（1）$ A \cup B $
（2）$ A \cap B $
（3）$ C_U A $（即 $ A $ 在 $ U $ 中的补集）
（4）$ (A \cup B) \cap C_U B $
2.设集合 $ A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\} $，集合 $ B = \{x \mid x < 2\} $，求 $ A \cap B $。
3.已知全集 $ U = \mathbb{R} $，集合 $ A = \{x \mid x > 1\} $，$ B = \{x \mid x < 3\} $，求：
（1）$ C_U A $
（2）$ A \cup B $
（3）$ C_U (A \cap B) $
