物理

一点点基础的代数几何

感觉这期有点水🌚

不管了，直入正题

代数几何顾名思义，把几何问题转变为代数问题

首先看看欧几里得，用公理和尺规定义了一个圆。要研究两个圆是否相交，你得进行复杂的几何构造。

随后是笛卡尔，创立坐标系，也是肥肠聪明，把纯大脑运转转换成手速+大脑了👁️👅👁️(建系党狂喜)

一个点：一对数$(x, y)$

一条曲线：满足方程$F(x, y) = 0$的所有点

举个🌰：单位圆就是方程$x^2+y^2=1$的所有解

希尔伯特是这样想的，我们可以忘掉$R^2$这个直观的空间。我们只关心多项式方程组和它们的解集。这些解集，我们称之为仿射代数集，它们本身就是我们要研究的几何图形，因此几何被完全代数化

现在我们遇到一个深刻的问题

考虑两个方程组：

1. $y - x^2= 0$

2. $y^3- x^6 = 0$

在$R^2$中，它们都给出抛物线$y = x^2$。那么，它们定义的是“同一个”图形吗？

给读者空3行思考🤓

答案是既相同，又不同

几何上，点集一样，但代数上，第二个方程暗示了某种重复或嵌入的信息(可以理解成三条抛物线重合在一起)

那么如何精确捕捉这种异同？

$\sout{算了不捕捉了}$

希尔伯特零点定理告诉我们：

一个几何图形$V$，本质上是由所有在它上面值为0的多项式$I(V)$所决定的。

这个$I(V)$是一个理想（这是你在抽象代数里学过的概念，快去复习）

所以，研究图形$V$，等价于研究这个理想$I(V)$。

格罗滕迪克定义了图形的坐标环：$A(V)=k[x_1,...,x_n]/I(V)$

很显然，这坨东西不好理解

依旧🌰

$k[x_1,...,x_n]$是所有多项式函数的集合，好比给你的电脑安装的软件套装

$I(V)$是在图形$V$上崩溃（恒为0）的函数，是垃圾代码，喂给企鹅()

$A(V)$就是卸载垃圾代码后，能运行在$V$这个专属硬件上的定制化软件。

因此一个几何空间，可以由它上面允许的函数的环来完全刻画

物理实体(几何空间) 所有可能的测量（坐标环上的函数）

至此，几何与代数完成了深度结合，$V$和$A(V)$是一体两面，包含相同的信息。

ok讲完了，霍奇猜想留作练习题🤓