物理

菲涅尔积分

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菲涅尔积分（Fresnel Integrals）是数学中一类重要的特殊函数，它们在物理学、光学、信号处理等领域有广泛应用，尤其是在研究光的衍射现象时

一、定义

菲涅尔积分由两个基本函数组成：

$C(x) = \int_0^x \cos(t^2)\, dt$

$S(x) = \int_0^x \sin(t^2)\,dt$

这两个函数分别称为 菲涅尔余弦积分和 菲涅尔正弦积分。

注意：这里的被积函数是 $\cos(t^2)$ 和 $\sin(t^2)$，而不是普通的三角函数。这使得它们无法用初等函数表达，因此必须作为特殊函数来研究。

二、为什么叫“菲涅尔”积分？

这些积分以法国物理学家 奥古斯丁·让·菲涅尔（Augustin-Jean Fresnel）命名，他在19世纪研究光的衍射现象时首次系统地使用了这类积分。他发现当光通过狭缝或绕过障碍物时，其传播可以用这些积分来描述。

 三、性质与图像

 1. 函数行为

当 $x \to 0$ 时：

 

$  C(x) \approx x - \frac{x^5}{5 \cdot 3!} + \cdots,\quad S(x) \approx x - \frac{x^5}{5 \cdot 3!} + \cdots$

 

  所以 $C(0) = S(0) = 0$

当 $x \to \infty$ 时：

$  \lim_{x \to \infty} C(x) = \int_0^\infty \cos(t^2)\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{8}}$

  $\lim_{x \to \infty} S(x) = \int_0^\infty \sin(t^2)\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{8}}$

这两个极限值很著名 ，我们后面会推导。

 函数 $C(x)$ 和 $S(x)$ 都是连续、光滑且单调递增的（在某些区间振荡增长），但最终趋于收敛。

2. 图像特征

 $C(x)$ 和 $S(x)$ 的图像都呈现出“振荡趋近”的趋势。

 它们在 $x > 0$ 上缓慢增加，每经过一个“周期”（大约 $t^2 = (n+1/2)\pi$），函数值会震荡一次。

最终趋于常数 $\sqrt{\pi/8} \approx 0.6267$

四、复数形式与欧拉公式

我们可以将两个积分合并成一个复数积分：

$F(x) = C(x) + iS(x) = \int_0^x e^{i t^2}\,dt$

这是菲涅尔积分的复数形式，非常有用。

进一步，考虑从 $0$ 到 $\infty$ 的积分：

$\int_0^\infty e^{i t^2}\,dt$

这个积分可以通过复变函数方法（如围道积分）求解。

五、经典结果：$\int_0^\infty \cos(t^2)\,dt = \int_0^\infty \sin(t^2)\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{8}}$

推导思路

可以使用复平面上的围道积分，其它的也许会不好算一些

考虑：

$J = \int_0^\infty e^{-a t^2}\,dt = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}, \quad \text{（实数 } a > 0\text{）}$

现在令 $a = -i$，即：

$\int_0^\infty e^{-i t^2}\,dt = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{-i}} = \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \cdot (-i)^{-1/2}$

注意：$-i = e^{-i\pi/2}$，所以 $(-i)^{-1/2} = e^{i\pi/4} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$

于是：

$\int_0^\infty e^{-i t^2}\,dt = \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \cdot \frac{1+i}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{8}} (1 + i)$

取共轭可得：

$\int_0^\infty e^{i t^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{8}} (1 - i)$

但注意：我们想要的是 $\int_0^\infty e^{i t^2} dt$，它等于：

$\int_0^\infty \cos(t^2)\,dt + i \int_0^\infty \sin(t^2)\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{8}} (1 - i)$

比较实部和虚部：

$\int_0^\infty \cos(t^2)\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{8}}, \quad \int_0^\infty \sin(t^2)\,dt = -\sqrt{\frac{\pi}{8}} \cdot (-1) = \sqrt{\frac{\pi}{8}}$

所以：

$\boxed{\int_0^\infty \cos(t^2)\,dt = \int_0^\infty \sin(t^2)\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{8}}}$

六、数值近似

$\sqrt{\frac{\pi}{8}} \approx \sqrt{0.3927} \approx 0.6267$

所以：

- $C(\infty) = S(\infty) \approx 0.6267$

七、应用领域

1. 光学中的衍射

菲涅尔积分用于计算光波在边缘或狭缝处的衍射图样。例如：半平面衍射，圆孔衍射，菲涅尔区

2. 信号处理与傅里叶变换

由于 $\cos(t^2)$ 和 $\sin(t^2)$ 是频率随时间变化的函数（称为“啁啾”信号），它们在雷达、通信中用来建模调频信号。

3. 微分方程与波动方程

在求解某些偏微分方程（如热方程、波动方程）的初值问题时，会出现类似结构的积分。

 八,参数化形式

有时人们也会定义：

$C(a,x) = \int_0^x \cos(a t^2)\,dt, \quad S(a,x) = \int_0^x \sin(a t^2)\,dt$

当 $a > 0$ 时，可以通过变量替换 $u = \sqrt{a} t$ 得到：

$C(a,x) = \frac{1}{\sqrt{a}} C(\sqrt{a}x), \quad S(a,x) = \frac{1}{\sqrt{a}} S(\sqrt{a}x)$

大概就这么多吧，有补充的提出来，错的也欢迎指正