物理

[TINY NSD]实数集有多少个？（四）

下面我们讨论整数的乘除法。

我们先观察自然数乘法的一条性质：

${若a \leq b, c \leq d，则}$

${(b-a)\times (d-c)=(b-a) \times d-(b-a) \times c=(b \times d-a \times d)-(b \times c-a \times c)}$

${=(b\times d+a \times c)-(a \times d+b \times c)}$

（由于${a \times d与b \times c}$无法比较大小，最后一步无法直接应用运算律，需要用消去律进行证明，不详细解释）

按照${S_n}$的定义，若${a \leq b}$, 则${(b, a) \in S_{b-a}}$，我们类比这种形式，可以给出整数乘法的定义：

${记S'=\lbrace (a \times c+b \times d, a \times d+b \times c) | (a, b) \in S_m, (c, d) \in S_n\rbrace}$，则${S'}$是一个等价类，定义${S'\to m \times n}$。

证明：若${(a_1, b_1), (a_2, b_2) \in S_m, (c_1, d_1), (c_2, d_2) \in S_n}$，

则${a_1+b_2=b_1+a_2, c_1+d_2=d_1+c_2}$。

只需证${b_1 \times d_1+a_1 \times c_1+b_2 \times c_2+a_2 \times d_2=b_1\times c_1+a_1 \times d_1+b_2 \times d_2+a_2 \times c_2}$。

注意到