物理

给初中生的狭义相对论

$\S$ 1. 近代物理简史

$\S$ 1.1 经典物理的辉煌

1. 力学 $\vec{F}=\dfrac{\mathrm{d}(m\vec{v})}{\mathrm{d}t}=m\vec{a}$

2. 热学与统计物理

3. 电磁学 $v=\sqrt{\dfrac{1}{\varepsilon\mu}}$

$\S$ 1.2 两朵乌云

1. 以太漂移 “以太” 以太风 Michelson–Morley实验（零结果实验）

2. 紫外灾难

(1) 黑体辐射 Rayleigh–Jeans公式 $u(\nu,T)=\dfrac{8\pi\nu^{2}}{c^{3}}k_{B}T$

(2) 热辐射 Wien位移定律 $\lambda_{\max}=\dfrac{b}{T}$，$b=0.002897~\mathrm{m\cdot K}$

Planck用插值法将两个公式化成一个。

$\S$ 2. 狭义相对论

研究对象：惯性系

$\S$ 2.1 经典时空观

1.Galileo变换

2.空间观

$P_{A}$记事件$A$。

$K$系：$\Delta l=x_{2}-x_{1}$

$K^{\prime}$系：$\Delta l^{\prime}=x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}=(x_{2}-ut_{2})-(x_{1}-ut_{1})=\Delta l$

3.时间观

$K$系：$\Delta t=t_{2}-t_{1}$

$K^{\prime}$系：$\Delta t^{\prime}=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\Delta t$

4.相对运动

$$\begin{aligned} v_{x}^{\prime}&=\dfrac{\mathrm{d}x^{\prime}}{\mathrm{d}t^{\prime}}=\dfrac{\mathrm{d}(x-ut)}{\mathrm{d}t}=v_{x}-u\\ v_{x}&=v_{x}^{\prime}+u\\ a_{x}^{\prime}&=\dfrac{\mathrm{d}^{2}v_{x}^{\prime}}{\mathrm{d}t^{\prime 2}}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\mathrm{d}(v_{x}-u)}{\mathrm{d}t}\right)=\dfrac{\mathrm{d}^{2}v_{x}}{\mathrm{d}t^{ 2}}=a_{x} \end{aligned} $$

$\S$ 2.2 两个假说

1. 光速不变原理：光在真空中的速度与观察者和光源的运动状态无关，恒为$c$。

2. (狭义相对论的)相对性原理：所有的物理学原理同一原理在不同的惯性系中表达形式相同。

$\S$ 2.3 Lorentz变换

Lorentz变换是狭义相对论的最源头，它来自于“两个假说”和“数学逻辑”。

设有两个惯性系$S$系和$S^{\prime}$系，它们在“$0$”时刻完全重合。其中$S^{\prime}$系相对于$S$系以$u$为速率沿$x(x^{\prime})$方向运动。有一束光沿着$x(x^{\prime})$方向从$O(O^{\prime})$点在“$0$”时刻发出。(目的是用光来描述任意一个事件)。

假设在$S$系中坐标表示为$(x,y,z)$，经过$t$时间，同时在$S^{\prime}$系中坐标表示为$(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$，经过$t^{\prime}$时间。(由于$S$与$S^{\prime}$有相对运动，为了一般性，所以我们认为两个系中的时间推移不同)。

根据光速不变原理，我们将(描述任意一点的坐标的)光在$t$时刻($S$系中)，$t^{\prime}$时刻($S^{\prime}$系中)的坐标位置列成方程，有

$$\begin{align}S\text{系中} && x=ct &&\\ S^{\prime}\text{系中} && x^{\prime}=ct^{\prime} && \end{align}$$

类似地，我们类比Galileo变换中坐标与相对速度的变换公式，运用相对性原理，得到两个方程

$$\begin{align}S\text{系到}S^{\prime}\text{系} && x^{\prime}=k(x-ut) &&\\ S^{\prime}\text{系到}S\text{系} && x=k(x^{\prime}+ut^{\prime}) && \end{align}$$

注意到$k$为线性变换系数，之所以对于$S$系和$S^{\prime}$系相同，是由于相对性原理，作为物理规律应该相同，而之所以为线性，是因为$S$系和$S^{\prime}$系是惯性系，它们本身就是线性的。

将四个方程联立

将(3)、(4)左右两边分别相乘得到$$xx^{\prime}=k^{2}(x-ut)(x^{\prime}+ut^{\prime})$$并将(1)、(2)分别代入得到$$c^{2}tt^{\prime}=k^{2}(ct-ut)(ct^{\prime}+ut^{\prime})$$化简为$$c^{2}\cancel{tt^{\prime}}=k^{2}(c^{2}-u^{2})\cancel{tt^{\prime}}$$我们得到$$k^{2}=\dfrac{c^{2}}{c^{2}-u^{2}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}$$即$$k=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}$$注意：我们常记$$\begin{aligned}\beta&=\dfrac{u}{c}\\ \gamma&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\end{aligned}$$我们解出了$k$值，将$k$值代入(3)、(4)方程中，我们得到Lorentz变换及其逆变换

为防止混乱，处理(狭义)相对论问题要记住：

1.先选系(选准参考系，并在该参考系下进行计算)

2.套公式(代入Lorentz变换公式中求解)

观察上面的公式，我们会发现：当$u\ll c$时回到经典Galileo变换。

$\S$2.4 相对论时空观

1.“同时”的相对性

在狭义相对论的模型中，“同时”是相对的，设$P_{A}$指一事件$A$分别发生在$S$、$S^{\prime}$系中，但是我们会发现$S$、$S^{\prime}$系在规定了“$0$”时刻后，发生$P_{A}$时，时间的推移量并不相同，这便是“同时”的相对性。

2.空间的相对性

设$AB$是一辆列车($S^{\prime}$系)，它相对于$S$系以$u$沿$x(x^{\prime})$轴正向运动。(我们将事件$A$表示为$P_{A}$)。

$P_{A}$：确定$A$点的位置这一事件

$P_{B}$：确定$B$点的位置这一事件

注意：

(1)$t_{1}=t_{2}$：由于火车相对于$S$系运动，所以在$S$系要测量火车的长度必须同时确定$A$、$B$两点的位置(若不同时，比如先测$A$，经过一段时间，由于火车运动，$A$将不在原来的位置，这时再测$B$就不准了)。

(2)固有长度$\Delta l_{0}$：静止时的长度，在火车上测量(即在$S^{\prime}$系中测量时)相对于火车运动不同，完全可以将米尺一头固定在$A$处，再走到$B$读数。

运用Lorentz变换，我们得到$$\Delta l_{0}=x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}=\dfrac{x_{2}-ut_{2}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}-\dfrac{x_{1}-ut_{1}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}=\dfrac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}=\dfrac{\Delta l}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}$$即有动尺收缩效应$$\Delta l=\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}\Delta l_{0}<\Delta l_{0}$$

3.时间的相对性

设有一趟列车($S^{\prime}$系)相对于$S$系以$u$沿$x(x^{\prime})$轴运动，其中有一束光从车厢上部发出打在下部平面镜反射，然后回到上部。

$P_{A}$：光发出时这一事件

$P_{B}$：光回来时这一事件

$S$系中，$\Delta t_{0}=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}$ (由于相对于车厢静止，$x_{2}^{\prime}=x_{1}^{\prime}$)

$S^{\prime}$系中，$\Delta t=t_{2}-t_{1}=\dfrac{t_{2}^{\prime}+\dfrac{u}{c^{2}}x_{2}^{\prime}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}-\dfrac{t_{1}^{\prime}+\dfrac{u}{c^{2}}x_{1}^{\prime}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}=\dfrac{t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}=\dfrac{\Delta t_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}$

我们发现了时间膨胀$$\Delta t=\dfrac{\Delta t_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}>\Delta t_{0}$$

双生子佯谬(时间膨胀)：有一对孪生兄弟，哥哥乘飞船做太空旅行，弟弟在地球生活，当哥哥回来时，弟弟已经是白发苍苍的老人，而哥哥仍旧是意气风发的青年。

$\S$2.5 速度变换公式

根据Lorentz变换，取微分$$\begin{aligned}\mathrm{d}x^{\prime}&=\mathrm{d}\left(\dfrac{x-ut}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}\right)=\dfrac{\mathrm{d}x-u\mathrm{d}t}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}\\ \mathrm{d}t^{\prime}&=\mathrm{d}\left(\dfrac{t-\dfrac{u}{c^{2}}x}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}\right)=\dfrac{\mathrm{d}t-\dfrac{u}{c^{2}}\mathrm{d}x}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}\end{aligned}$$$S$系与$S^{\prime}$系$x$方向速度分量定义为$$\begin{aligned}v_{x}&=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ v_{x}^{\prime}&=\dfrac{\mathrm{d}x^{\prime}}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\dfrac{\mathrm{d}x-u\mathrm{d}t}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}}{\dfrac{\mathrm{d}t-\dfrac{u}{c^{2}}\mathrm{d}x}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}}=\dfrac{\mathrm{d}x-u\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t-\dfrac{u}{c^{2}}\mathrm{d}x}=\dfrac{v_{x}-u}{1-\dfrac{u}{c^{2}}v_{x}}\end{aligned}$$$y$方向分量满足关系$$\begin{aligned} y&=y^{\prime}\\ \mathrm{d}y&=\mathrm{d}y^{\prime}\\ v_{y}^{\prime}&=\dfrac{\mathrm{d}y^{\prime}}{\mathrm{d}t^{\prime}}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\dfrac{\mathrm{d}t-\dfrac{u}{c^{2}}\mathrm{d}x}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}}=\dfrac{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t-\dfrac{u}{c^{2}}\mathrm{d}x}=\dfrac{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}v_{y}}{1-\dfrac{u}{c^{2}}v_{x}}\end{aligned}$$同理可得$$v_{z}^{\prime}=\dfrac{\mathrm{d}z^{\prime}}{\mathrm{d}t^{\prime}}=\dfrac{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}v_{z}}{1-\dfrac{u}{c^{2}}v_{x}}$$联立三个$x$、$y$、$z$方向，我们得到Lorentz速度变换公式

$\S$2.6 相对论的动力学方程

1.两个条件

(1) 不能与两个假说矛盾。

(2) $v\ll c$时，回到经典。

2.质量与速度的关系($\vec{p}=m\vec{v}$成立)

在惯性系$S$中，静止质量为$M_{0}$的物体以速度$u$运动，运动质量为$M$。该物体沿速度方向分裂成静止质量相等的$A$，$B$两块，静止质量为$m_{0}$，速度分别为$v_{A}$和$v_{B}$，运动质量分别为$m_{A}$和$m_{B}$。

$$\begin{aligned}\text{质量守恒} & & M=m_{A}+m_{B} & & (1)\\ \text{动量守恒} & & Mu=m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B} & & (2)\end{aligned}$$

由于动量守恒，$S^{\prime}$系中质量相等，速度大小相等，方向相反，取$v_{A}^{\prime}=-u$，$v_{B}^{\prime}=u$。

在$S$系中，$$v_{A}=\dfrac{v_{A}^{\prime}+u}{1+\dfrac{v_{A}^{\prime}u}{c^{2}}}=0$$$A$静止，即$$m_{A}=m_{0}.$$(2)可化为(变形$(m_{0}+m_{B})u=m_{0}\cdot 0+m_{B}v_{B}$)$$m_{B}=\dfrac{m_{0}}{\dfrac{v_{B}}{u}-1}$$通过Lorentz速度逆变换公式$$v_{B}=\dfrac{v_{B}^{\prime}+u}{1+\dfrac{v_{B}^{\prime}u}{c^{2}}}=\dfrac{2u}{1+\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}$$$$\begin{aligned}\Rightarrow && v_{B}+\dfrac{v_{B}u^{2}}{c^{2}}=2u &&\\ \Rightarrow && \dfrac{v_{B}}{u^{2}}+\dfrac{v_{B}}{c^{2}}=\dfrac{2}{u} &&\\ \Rightarrow && \dfrac{v_{B}^{2}}{u^{2}}-2\dfrac{v_{B}}{u}+\dfrac{v_{B}^{2}}{c^{2}}=0\end{aligned}$$解得：$$\dfrac{v_{B}}{u}=1\pm \sqrt{1-\dfrac{v_{B}^{2}}{c^{2}}}$$由于$v_{B}>u$，取正根$\dfrac{v_{B}}{u}=1+\sqrt{1-\dfrac{v_{B}^{2}}{c^{2}}}$。代入$$m_{B}=\dfrac{m_{0}}{\dfrac{v_{B}}{u}-1}=\dfrac{m_{0}}{1+\sqrt{1-\dfrac{v_{B}^{2}}{c^{2}}}-1}=\dfrac{m_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{v_{B}^{2}}{c^{2}}}}$$也就是说我们得到了质量与速度的关系：$$\boxed{m(v)=\dfrac{m_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}}$$3.动力学方程$$\vec{F}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{m_{0}\vec{v}}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)$$

$\S$2.7 动能

$$\mathrm{d}A\xlongequal{\text{动能定理}}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\vec{F}\cdot\vec{v}\mathrm{d}t=\vec{v}\cdot\vec{F}\mathrm{d}t=\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{p}$$根据动量的定义，两边取微分$$\mathrm{d}\vec{p}=\mathrm{d}(m\vec{v})=\vec{v}\mathrm{d}m+m\mathrm{d}\vec{v}$$我们根据质量与速度的关系$m=\dfrac{m_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}$对速度求导得到$$\dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}v}=\dfrac{m_{0}v}{c^{2}\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}$$因此质量的微分$$\mathrm{d}m=\dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}v}\mathrm{d}v=\dfrac{m_{0}v}{c^{2}\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}v=\dfrac{m_{0}v}{c^{2}\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}\mathrm{d}v=\dfrac{\dfrac{m_{0}v}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}}{c^{2}-v^{2}}\mathrm{d}v=\dfrac{mv\mathrm{d}v}{c^{2}-v^{2}}$$下面我们证明一个结论：$$\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{A}=A\mathrm{d}A$$证明：$$\begin{aligned}(\vec{A}\cdot\vec{A})^{\prime}&=(A^{2})^{\prime}\\2\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{A}&=2A\mathrm{d}A\\ \vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{A}&=A\mathrm{d}A\end{aligned}$$$$~\tag*{$\square$}$$

将$\mathrm{d}\vec{p}$代入$\mathrm{d}A=\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{p}$得到$$\mathrm{d}A=v^{2}\mathrm{d}m+m\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v}=v^{2}\mathrm{d}m+mv\mathrm{d}v=v^{2}\mathrm{d}m+(c^{2}-v^{2})\mathrm{d}m=c^{2}\mathrm{d}m$$我们知道动能定理$$\mathrm{d}A=\mathrm{d}E_{k}$$两边积分$$\int_{0}^{E_{k}}\mathrm{d}E_{k}=\int_{m_{0}}^{m}c^{2}\mathrm{d}m$$得到$$\boxed{E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2}}$$当$v\ll c$时，我们可以回到经典情况$$\begin{aligned}m&=\dfrac{m_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}=m_{0}\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}\approx m_{0}\left(1+\dfrac{v^{2}}{2c^{2}}\right)\\E_{k}&=m_{0}\left(1+\dfrac{v^{2}}{2c^{2}}\right)c^{2}-m_{0}c^{2}=\dfrac{1}{2}m_{0}v^{2}\end{aligned}$$$\S$2.8 能量与质量

我们有总能量=静能+动能$$mc^{2}=m_{0}c^{2}+E_{k}$$我们得到了质能方程$$E=mc^{2}$$而动能变化量$$\Delta E_{k}=\Delta mc^{2}$$

$\S$2.9 动量与能量

经典：$E_{k}=\dfrac{p^{2}}{2m}$

相对论：

$$\begin{aligned}\Rightarrow && \boxed{(mc^{2})^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}} &&\\&& E^{2}=E_{0}^{2}+(pc)^{2} &&\end{aligned}$$

$\S$2.10 光子

考虑一个光子，它的能量是量子化的，且与频率成正比$$\varepsilon=h\nu$$其中，$h$为Planck常数。质量与速度的关系为$$m=\dfrac{m_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}$$而光子的速度为光速$v=c$，为了使得$m$存在，则必须有光子没有静质量$m_{0}=0$。我们把光子能量代入得到$$mc^{2}=h\nu\qquad\Rightarrow\qquad m=\dfrac{h\nu}{c^{2}}$$我们代入动量的定义，可以得到光子的动量$$p=mc=\dfrac{h\nu}{c}=\dfrac{h}{\lambda}$$