物理

高等拓扑斯论

这次准备说一说高等拓扑斯理论（Higher Topos Theory)

有错欢迎指正

第一章 范畴论与高阶范畴论

这一章相当重要，是理论的基石

1.1 格罗腾迪克宇宙与集合论基础

我们在探讨所有集合的范畴和所有∞-范畴的范畴时，将会看到罗素悖论，以及集合论的难题，格罗腾迪克宇宙提供了一个优雅的解决方案，允许我们在一个更大的集合论宇宙中讨论较小的数学对象的集合

格罗腾迪克宇宙定义：一个格罗腾迪克宇宙u是一个满足以下公理的集合：

传递性：如果x∈A，且y∈x，则y∈A

对集封闭：如果x，y∈A，则❴x，y❵∈A

并集封闭：如果x∈A,则∪x∈A

幂集封闭：如果x∈A,则P(x)∈A

无穷公理：存在一个无限集合I∈A,(即ω∈A，其中ω是最小的无穷序数）

范畴的大小定义：固定一个宇宙u，一个范畴C被称为u-小范畴，如果其对象类Ob（C）和态射类Mor（C）都是u中的元素

C被称为u-局部小范畴，如果对于任意对象XY∈Ob（C），其态射集Hom_C（X，Y）是u-小的

范畴u-Set表示以所有u-小集合为对象，集合间的函数以态射的范畴

1.2模型范畴论与（∞，1）-范畴的模型

模型范畴论是为了处理同伦论和（∞，1）-范畴的比较好且强大的工具

它通过指定三类特殊的态射（弱等价，纤维化，上纤维化来为一个范畴有同伦理论

模型范畴定义：一个范畴C上的模型结构由三类态射规定：

1.弱等价：记作∼→，实际上箭头在第一下面，但我这里打不出来，所以不规范见谅，我们希望将这些态射视为同伦等价

2.纤维化：记作↠

3.上纤维化：记得c→，这个c其实在后面那个影射左上方，它们必须满足一组公理

同伦范畴定义：给定模型范畴C，其同伦范畴Ho（C）是通过将C中所有若等价形式地变为同构后得到的范畴

定理：同伦范畴Ho（C）是一个局部化范畴，还有在许多良好比如双纤维化那种，Ho（C)是一个（∞，1)-范畴的模型

（∞,1）-范畴介绍：不仅有对象和态射，还有态射之间的态射2-态射，同样，2-态射之间的态射还有3-态射，以此类推至无穷，有所有k-态射（对于k>1）都是可逆的范畴

单纯集范畴sSet带有Kan-奎伦模型结构，在其中：

弱等价是弱同伦等价；上纤维化是单射映射；纤维化是Kan纤维化

这个模型非常重要：

因为它的同伦范畴Ho（sSet）等价于拓扑空间的同伦范畴Ho（Top），然后sSet本身可以作为定义（∞，1）-范畴的基础

对了，我还要在讲一个非常重要的东西，模型范畴和(∞,1)-范畴的关系：

模型范畴首先它不是（∞,1)-范畴，但它呈现的就是（∞,1)-范畴，我们可以从模型范畴C中完整提取出其对应的一个（∞,1)-范畴结构，特别是其映射空间MapC（X，Y）一个拓扑空间或单纯集，它精准地编码了从X到Y的所有态射和高阶同伦！

1.3无穷算畴理论与对称幺半∞-范畴

首先这是为了在∞-范畴中进行一些代数操作，我们需要∞-范畴版本的幺半范畴，这是直观理解，就是算畴和对称幺半∞-范畴概念

直观想法：一个普通的算畴O是一个范畴，其对象看起来像是一个运算的输入和输出，这个比喻非常形象

一个O-代数在一个幺半范畴C中，就是一个O→C，是幺半结构吧

无穷算甸定义：一个无穷或（∞,1）-算甸是一个∞-范畴O，配上一个函子p：O→N（Fin_star）（其中括号里是有限带基点的集合的范畴）满足一定的板片条件即可，保证了其纤维中的对象像运算一样被合成

对称幺半∞-范畴定义：一个对称幺半∞-范畴由一个无穷算甸C→N（Fin_star）定义，其中这个算甸是共纤维的，对称幺半∞-范畴是定义交换环对象等等概念必要环境

1.4高阶Kan扩张与无穷伴随函子定理

Kan扩张是范畴论中最为基本的工具，在∞-范畴这里，所有构造都必须同伦相干，需要精细化Kan理论

相对Kan扩张定义：设f：C→D和平：C→E是∞-范畴之间的函子，一个p沿f的左Kan扩张记为Lan_fp，是一个函子g：D→E，配有一个等价g0f∼_p,且它关于此性质是万有的

（上）层化：设C是一个∞-范畴，D是空间范畴，包含函子f：C→D的左Kan扩张，其实是将C的一个预层拓展为D上的一个（上）层，本质上说它是一个层化

极限与余极限：可以看作沿唯一函子f：C→*的Kan扩张

伴随函子：伴随函子对（L－∣R）可以刻画为：做伴随L是恒等函子沿又伴随R的左Kan扩张

∞-伴随函子定理：设F：C→D是一个∞-范畴之间的函子

左伴随的存在性：F有一个右伴随，当且仅当F保余极限

右伴随：F有一个左伴随，当且仅当F是可及的，（即保k-滤过余极限，对某个k），且保极限

1.5  局部化与完备

这个非常非常重要，局部化是贯穿整个高等拓扑斯理论的重要内容：即强制某些态射成为同构创建一个新的范畴

∞-范畴的局部化定义：设C是一个∞-范畴，W是其一类态射，一个关于W的局部化是一个∞-范畴LWC和一个函子l：C→LWC中的等价，使得满足以下两个条件：

1.对于所有ω∈W，l（ω）是LWC中的等价

2.l是关于此性质的万有函子：对于任何将W中的态射变为等价的函子F：C→D，都存在一个唯一的函子F^～：LWC→D使得F^～0l～_F

模型范畴的同伦范畴就是∞-版本的局部化LWC的1-范畴截断

完备化：在某种意义上说是一局部化的对偶概念：我们不是强制某些东西成为同构，而是通过形式上添加某些极限来完善一个范畴。

Ind-完备化和Pro-完备化定义：

一个∞-范畴C的Ind-完备化Ind（C）是通过形式上添加所有虑过余极限而得到的∞-范畴，当C由紧对象组成时，Ind（C）是C在保虑过余极限的∞-范畴中的万有扩张

Pro-完备化Pro（C）是对偶概念，通过形式上添加虑过极限得到！第一章结束

推一本书就叫做《Higher Topos Theory》

Jocob Lurie