数学

极简代数拓扑

跟以前一样，欢迎纠错，LaTeX以后有时间补（我真的不会），主要我在网页端的LaTeX和板砖不一样

会慢慢补（？）hh

水贴愉快

当我们观察一个甜甜圈和一个咖啡杯时，直觉告诉我们它们是不同的物体 但在拓扑学家眼中，它们是“一样”的？这是因为它们都只有一个洞（甜甜圈的洞和咖啡杯的把手） 代数拓扑就是一门将这种直观的“形状”概念转化为精确数学语言的学科 它不关心长度、角度这些具体细节，只关注物体最本质的拓扑性质——例如，有几个洞？是否连通？并通过群、环等代数结构来刻画这些性质 （依然是经典的甜甜圈与咖啡杯hh） 

核心概念：

代数拓扑的基本哲学是“翻译” 它将复杂的几何图形（拓扑空间）转换成一系列代数对象（如群、向量空间） 如果两个形状转换后得到的代数对象不同，那么它们的拓扑结构一定不同 

关键概念：拓扑不变性

一个性质如果在该空间的任何“连续变形”（如拉伸、弯曲，但不包括撕裂或粘连）下都保持不变，则称之为拓扑不变的 洞的数量（连通度）、是否为一个整体（连通性）都是典型的拓扑不变量 代数拓扑的目标就是找到强有力的代数不变量来描述它们

三大基本工具：

同伦群 ：同伦群关注的是空间中的“圈”以及这些圈能否连续地收缩到一个点

基本群（第一同伦群）：这是最先接触的同伦群 它研究的是空间中基于某一点的“环路”（闭合路径） 两个环路如果可以通过连续变形互相转换，则被视为等价。所有这些等价类在“首尾相接”的乘法操作下，形成一个群，称为基本群，记作 π₁(X)

例：

一个实心圆盘或整个平面，任何环路都能缩成一个点，其基本群是平凡群（只有一个元素）

一个圆周，绕圆一周的环路无法缩成点。如果你绕n圈，它和绕m圈是不同类的（当n≠m时） 

实际上，圆周的基本群同构于所有整数的加法群，记作 π₁(S¹) ≅ Z 这里的整数Z就编码了“缠绕圈数”的信息

甜甜圈面（环面）的基本群是 Z × Z，这对应了绕“长”方向一圈和绕“短”方向一圈的两个独立生成元

高阶同伦群：基本群刻画的是二维的圈（类似橡皮筋） 更高维的同伦群 πₙ(X) 则刻画了空间中能否被n维球面“包围”的高维孔洞 计算高阶同伦群通常非常困难，但它们提供了极其精细的拓扑信息

同调群 ：同调群的核心思想是“一个圈如果没有包围一个洞，那么它一定是某个区域的边界”

想象一个充气的轮胎（二维环面）

绕着轮胎横截面的那个圈，它并不是任何存在于轮胎表面上的“面”的边界 所以，存在一个洞 这个圈就是所谓的一维同调类的一个生成元 

同样，绕着轮胎赤道的那个圈，也不是任何轮胎表面的“面”的边界，是另一个生成元

但是，如果你在轮胎面上画一个很小的圆圈，这个圆圈可以是它内部一小块圆盘的边界 所以这个圆圈在同调意义下是“平凡”的，不代表一个洞

我们将拓扑空间进行“三角剖分”，即将其划分为一个个点（0-单形）、线段（1-单形）、三角形（2-单形）、四面体（3-单形）等的组合 然后：

链群：由所有k维单形以整数为系数组成的线性组合

边缘算子：一个数学操作，告诉我们一个k维单形的“边界”是什么 这个算子可以将k维链映射到(k-1)维链

同调群：我们定义“闭链”（其边缘为零的链，即“没有边界的链”）和“边缘链”（本身是某个更高维链的边的链）同调群 H_k(X) 就是闭链模去边缘链得到的商群

H₀(X) 的秩（自由部分的阶数）等于空间的连通分支数

H₁(X) 的秩等于空间的“一维洞”（类似管道）的个数

H₂(X) 的秩等于空间的“二维洞”（类似空腔）的个数

例：

球面 S²：H₀ ≅ Z (连通), H₁ = 0 (没有一维洞), H₂ ≅ Z (有一个二维空腔)

环面 T²：H₀ ≅ Z, H₁ ≅ Z × Z (两个独立的一维圈), H₂ ≅ Z (有一个二维空腔)

上同调群 上同调可以粗略地理解为同调的“对偶”版本 如果说同调是“由几何图形生成”，那么上同调则可以看作是“在该几何图形上定义的某种函数”

上同调群 H^k(X) 不仅包含了与同调群相似的拓扑信息（例如，它们的秩相同），而且还天然拥有一个额外的代数结构——上积 这使得上同调环能够比同调更精细地区分空间 例如，两个空间可能拥有完全一样的同调群，但它们的上同调环结构却可能不同

例：（经典）

布劳威尔不动点定理：一个非常著名的定理 它断言：任何一个从闭圆盘到自身的连续映射，都至少有一个“不动点”（即存在一点x，使得f(x) = x） 这个定理的证明，其核心工具之一就是代数拓扑中的同调论 通过分析映射在同调群上诱导的同态，可以推出不动点的存在性 

Fundamental Theorem of Algebra (拓扑证明)：代数基本定理说，任何非常数的复系数多项式方程都至少有一个复根 我们可以用一个拓扑论证来证明它：如果假设一个非常数多项式P(z)没有根，那么我们可以构造一个从复平面（本身是一个球面）到自身的连续映射 通过计算这个映射的度（一个源于同伦或同调的概念），会得出矛盾 从而证明根必须存在

区分空间：如何严格证明甜甜圈（环面）和球面不同？计算它们的一维同调群：球面的H₁=0，环面的H₁=Z×Z 因为代数对象不同，所以拓扑形状必然不同

代数拓扑远不止于数洞 它构建了一套强大的机器，将拓扑空间的‌同伦型‌转化为丰富的代数不变量，这些不变量不仅用于区分空间，更能揭示空间的精细结构、映射的性质，并与其他数学领域产生深刻联系 

‌同伦论的深度：‌

‌Whitehead 定理：‌ 这是同伦论的核心定理之一 

它指出：一个连续映射 f: X -> Y 在连通CW复形之间是‌同伦等价‌（即存在 g: Y -> X 使得 g◦f 和 f◦g 分别同伦于恒等映射）的‌充分必要条件‌是它诱导所有同伦群上的同构 f_*: π_n(X, x0) -> π_n(Y, f(x0)) 对所有的 n 和基点 x0 成立 这确立了同伦群在同伦分类中的核心地位——它们几乎完全决定了空间的同伦型 （理解其证明需要掌握CW逼近和同伦提升等概念）

‌纤维化 (Fibration)：‌ 一个映射 p: E -> B 如果具有‌同伦提升性质‌（给定一个同伦 H: X × [0,1] -> B 和它的起点 H(x,0) 在 E 中的提升 h0: X -> E，那么整个同伦 H 都可以提升到 E），则称为纤维化 纤维 F = p^{-1}(b) 在同伦意义下是“相同”的（只要 B 是道路连通的） 

纤维化诱导了关键的‌同伦正合序列‌：

       ... -> π_n(F) -> π_n(E) -> π_n(B) -> π_{n-1}(F) -> ... -> π_0(E) -> ...

这个序列将纤维、全空间和底空间的同伦群精确地连接起来，是计算同伦群和分析空间结构的利器（例如，用于计算球面同伦群） 

Hurewicz 定理建立了同伦群与同调群的联系：对于一个 (n-1)-连通的路径连通空间 X (n ≥ 2)，存在一个自然同构 h: π_n(X) / [π_n(X), π_n(X)] -> H_n(X; Z) 这揭示了第一个非零同伦群（在连通性要求下）与其同调群的紧密关系

‌Postnikov 塔：‌ 这是一种系统地逼近空间同伦型的构造 

对于一个空间 X，可以构造一系列空间 X_n（称为 n-截断）和映射 X -> X_n，使得 π_k(X_n) 在 k ≤ n 时同构于 π_k(X)，而在 k > n 时为零 X_{n} 由 X_{n-1} 通过一个以 K(π_n(X), n)（一个 Eilenberg-MacLane 空间）为纤维的纤维化“粘合”而成 这些粘合数据（上同调类，称为 k-不变量）编码了更高阶的同伦信息

同调论的扩展：‌

‌奇异同调的公理化 (Eilenberg-Steenrod)：‌ 同调论的精髓被 Eilenberg 和 Steenrod 提炼为一组‌公理‌ 一个同调理论是一系列函子 H_n(-; G)（其中 G 是系数群，如整数 Z、有理数 Q、有限群 Z/pZ）满足：同伦不变性、正合性（对于 (X, A) 有长正合序列）、切除性 (Excision) 以及维度公理 (H_0(*) = G， H_n(*) = 0 for n > 0） 奇异同调满足这些公理，并且更重要的是，这些公理在某种意义上‌唯一地‌确定了满足它们的同调理论（在好的空间上）

‌万有系数定理：‌ 这个定理描述了使用任意系数群 G 计算同调群与使用整数系数 Z 计算同调群之间的关系：

         0 -> H_n(X; Z) ⊗ G -> H_n(X; G) -> Tor^Z(H_{n-1}(X; Z), G) -> 0

这是一个分裂的正合序列（但不自然分裂） 类似地，上同调有：

        0 -> Ext^1_Z(H_{n-1}(X; Z), G) -> H^n(X; G) -> Hom_Z(H_n(X; Z), G) -> 0

这些定理是实际计算的基础，允许我们从 Z 系数的知识推导出任意系数下的同调/上同调

‌Künneth 公式：‌

 这个公式处理乘积空间的同调：对于两个空间 X 和 Y，有

   0 -> ⊕_{i+j=n} H_i(X; R) ⊗_R H_j(Y; R) -> H_n(X × Y; R) -> ⊕_{i+j=n-1} Tor^R(H_i(X; R), H_j(Y; R)) -> 0

其中 R 是一个主理想整环（如 Z 或域）这允许我们从因子的同调计算积的同调

‌流形与对偶性：‌

‌Poincaré 对偶：‌ 对于一个 n 维可定向的闭流形 M，存在一个同构：

                            D: H^k(M; Z) -> H_{n-k}(M; Z)

这个同构通过上同调类与基本类 [M] ∈ H_n(M; Z) 的卡积 (cap product) 来实现 这是流形拓扑最深刻和最有用的定理之一，揭示了流形上同调与同调之间的完美对称性 对于非紧流形或带边流形，有相对版本的 Poincaré-Lefschetz 对偶

‌示性类 (Characteristic Classes)：‌ 

这些是同调或上同调中的特定元素，用于区分具有相同同伦型但不同微分结构的向量丛或流形

主要类型包括：

‌Stiefel-Whitney 类 w_i ∈ H^i(X; Z/2Z):‌ 用于实向量丛，包含可定向性、自旋结构等信息 它们在 Z/2Z 系数下定义

‌陈类 (Chern classes) c_i ∈ H^{2i}(X; Z):‌ 用于复向量丛 它们是整数系数上同调类，包含丰富的拓扑和几何信息

‌Pontryagin 类 p_i ∈ H^{4i}(X; Z):‌ 用于实向量丛（通过复化） 它们是整数系数类

‌上同调：（不仅是同调的对偶）

‌上同调环结构：‌ 上同调群 H^*(X; R) := ⊕_{n≥0} H^n(X; R) 自然地具有一个‌环结构‌，由上积 (cup product) ∪: H^p(X; R) × H^q(X; R) -> H^{p+q}(X; R) 定义 

这个环结构包含了比同调群本身更精细的拓扑信息

例如，复射影空间 CP^n 的上同调环是 Z[c] / (c^{n+1})，其中 c 是一个 H^2(CP^n; Z) 的生成元 这个环结构清晰地刻画了空间的特性，而同调群 H_*(CP^n; Z) 本身（即非负偶数维上有 Z）不足以区分不同维数的 CP^n

‌Eilenberg-MacLane 空间：‌ 空间 K(G, n) 定义为唯一的（在同伦等价意义下）满足 π_n(K(G, n)) = G 且所有其他同伦群为零的连通 CW 复形 上同调理论的一个深刻结果是 H^n(X; G) = [X, K(G, n)]，即系数为 G 的 n 维上同调群自然同构于从 X到 K(G, n) 的同伦类的集合

‌谱序列 (Spectral Sequences)：‌ 一个谱序列是一个由“页” E^{r}_{p,q} (r ≥ r0) 组成的系统，每页有微分映射 d^r: E^{r}_{p,q} -> E^{r}_{p-r, q+r-1} 满足 (d^r)^2 = 0，并且下一页 E^{r+1} 是前一页 E^r 的（在 d^r 下的）同调 随着 r 增大，谱序列可能收敛到目标（例如，一个空间或链复形的同调群）

最常用的：

‌Leray-Serre 谱序列：‌ 关联于一个纤维化 F -> E -> B 它将底空间 B 的上同调（带有局部系数系统，由纤维 F 的同调给出）与全空间 E 的上同调联系起来：E^{p,q}_2 = H^p(B; H^q(F)) => H^{p+q}(E) 这是计算纤维化全空间上同调的强大工具

‌Hochschild-Serre 谱序列：‌ 用于群上同调 对于一个群的短正合列 1 -> N -> G -> Q -> 1，此谱序列将 Q 的上同调（系数为 N 的上同调）与 G 的上同调联系起来

它们能处理用其他方法几乎无法解决的问题

广义(上)同调理论：‌

奇异(上)同调只是众多可能的(上)同调理论中的一个 更一般地，一个‌广义上同调理论‌ h^*是一系列满足 Eilenberg-Steenrod 公理（除了维度公理）的函子 这意味着它满足同伦不变性、正合性、切除性，但 h^n(*) 不一定为零 (n ≠ 0)

例：

‌K-理论 (K-theory)：‌ K^0(X) 定义为 X 上复向量丛的稳定同构类的 ‌Grothendieck 群‌ 更高阶的 K^{-n}(X) 可以通过 Bott 周期性来定义（K^{-n}(X) ≅ K^{-n-2}(X)） K-理论在指标定理、高维流形分类中至关重要，也是代数K理论的基础

‌配边理论 (Cobordism)：‌ 例如，复配边 MU^* 或正交配边 MO^* MO^* 在 Thom 对微分流形配边环 Ω_*^O 的著名计算中扮演核心角色

广义上同调理论通常由一个‌谱 (Spectrum)‌ 定义，这是一系列空间 E_n 和同伦等价 E_n -> ΩE_{n+1} 的集合 (Ω 表示环路空间) 奇异上同调对应的是 ‌Eilenberg-MacLane 谱‌ {K(G, n)}

‌同伦群的计算：

尽管有 Hurewicz 定理、谱序列等工具，高阶同伦群 (n ≥ 2) 的‌一般计算极其困难‌ 即使是球面 S^k 的同伦群 π_n(S^k) (n > k)，其完整结构也远未被完全掌握（Serre 的开创性工作揭示了其中的有限性结构，但具体群的计算仍然艰巨）这种复杂性本身就反映了拓扑空间的深层结构

‌范畴化与高阶范畴论：‌

现代代数拓扑的一个重要趋势是‌范畴化 (Categorification)‌，即寻找传统的代数不变量（如群、环）背后更高阶的范畴结构

涉及到：

‌基本群胚 (Π_1(X)):‌ 基本群的范畴化版本 对象是点，态射是点之间的道路同伦类 包含了比基本群更多的信息（非平凡自同构）

‌高阶范畴与无穷范畴：‌ 为了更精细地捕捉空间的高维路径（如道路之间的同伦、同伦之间的同伦等），发展了高阶范畴论（如双范畴、2-范畴）和无穷范畴（如拟范畴、完备 Segal 空间）

导出代数几何：‌ 代数拓扑的思想（特别是同伦论）深刻影响了现代代数几何，催生了‌导出代数几何‌，其中空间被其函数环的“同伦正确”版本（如微分分次代数、E_∞-代数）所取代，以更好地处理非横截相交、模空间等问题

代数拓扑已从计数洞的直观起点，发展为一套庞大而深刻的理论体系 它以‌同伦论‌（研究形变和映射）和‌同调/上同调论‌（研究链复形和代数不变量）为两大支柱，通过诸如‌纤维化‌、‌谱序列‌、‌广义上同调‌（K-理论、配边）等工具，构建了理解空间形状和映射的精密框架 其核心在于发现并利用拓扑不变量的‌函子性‌：空间之间的连续映射诱导代数结构之间的同态，从而将拓扑问题转化为代数问题