数学 简谈皮卡大小定理
跟以前一样，欢迎纠错，LaTeX以后有时间补，主要我在网页端的LaTeX和板砖不一样，并且...美元符号好难打...嗯...
这个有点太简了，会慢慢补（？）hh
基本定义与概念
设 f 是复变函数，定义在复平面 C 的子集上
定义1（整函数）
如果函数 f 在整个复平面 C 上全纯，则称 f 为整函数
定义2（孤立奇点）
设 a∈ C 如果存在 ε > 0，使得 f 在去心邻域 D(a,ε)\{a} = {z ∈ C : 0 < |z-a| < ε} 上全纯，但在 z = a 处不全纯，则称 a 是 f 的孤立奇点
定义3（奇点分类）
设 a 是 f 的孤立奇点：
如果 lim_{z→a} f(z) 存在且有限，则 a 是可去奇点
如果 lim_{z→a} f(z) = ∞，则 a 是极点
如果 lim_{z→a} f(z) 不存在（包括无穷大情形），则 a 是本性奇点
皮卡小定理
定理1（皮卡小定理）
设 f 是整函数，且 f 不是常数函数 则 f 的值域 f(C)满足以下两种情况之一：
(1)f(C) = C
(2)存在唯一的 c ∈ C，使得 f(C) = C \\ {c}
等价：
非常数的整函数在复平面上取到所有的复数值，至多只有一个例外值
例：（经典）
考虑指数函数 f(z)= e^z
f 是整函数且非常数
对于任意 w ∈ C，若 w ≠ 0，则存在 z ∈ C 使得 e^z = w
但不存在 z ∈ C 使得 e^z = 0
因此 f(C)= C \\ {0}，恰好漏掉一个点 0
皮卡大定理
定理2（皮卡大定理）
设 a 是 f 的本性奇点 则对于任意 ε> 0，在去心邻域 D(a,ε)\{a} 上，函数 f 取到所有的复数值，至多只有一个例外值
符号：
设 a 是 f 的本性奇点，则对于任意 ε> 0，集合
f(D(a,ε)\{a})
满足以下两种情况之一：
(1)f(D(a,ε)\{a}) = C
(2)存在唯一的 c ∈ C，使得 f(D(a,ε)\{a}) = C \\ {c}
例：（依然经典）
考虑函数 f(z)= e^{1/z} 在 z=0 处
z=0 是 f 的本性奇点
在任意去心邻域 D(0,ε)\{0} 上
对于任意 w ∈ C，若 w ≠ 0，则存在 z 使得 e^{1/z} = w
但不存在 z 使得 e^{1/z} = 0
因此 f(D(0,ε)\{0})= C \\ {0}，恰好漏掉一个点 0
与魏尔斯特拉斯定理的关系：
魏尔斯特拉斯定理指出：在本性奇点的任意邻域内，函数值在复平面上稠密
皮卡大定理强化了这一结果，指出不仅是稠密，实际上是"几乎满"的——只可能漏掉一个点
例外值的唯一性：
在两个定理中，如果存在例外值，则该例外值是唯一的 不可能出现漏掉两个或更多值的情形
定理的统一性：
从某种角度看，整函数可以视为以无穷远点为孤立奇点
此时：
多项式以 ∞ 为极点
超越整函数（如 e^z, sin z）以 ∞ 为本性奇点
因此皮卡小定理可视为皮卡大定理在奇点为无穷远点时的特殊情形
先打好基础，hh
复分析基础
复数的几何表示
内容：复平面、模、辐角、欧拉公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ
这是理解所有复变函数行为的视觉化基础 例如e^z 的周期性就源于欧拉公式
复变函数与极限
内容：复变函数的定义、极限、连续性 理解 z 可以从复平面上任意路径趋近于某一点
这是定义导数和奇点的前提 皮卡定理中“任意邻域”的概念就建立在此之上
解析/全纯函数
内容：函数在一点及一个区域上可导的定义 柯西-黎曼方程 是判断函数是否全纯的充要条件
皮卡定理是专门针对全纯函数的定理 实可微函数没有如此强的性质 全纯性带来的“刚性”是皮卡定理成立的根源
复积分与核心定理
复积分
内容：复变函数沿路径的积分定义和基本性质
这是证明后续一系列强大定理的工具
柯西积分定理
内容：如果一个函数在一个单连通区域内部全纯，那么它沿区域内任何闭合曲线的积分为零
这是整个复分析的基石之一 它意味着全纯函数在局部具有“路径无关”性，奠定了全纯函数与实可微函数的根本区别
柯西积分公式
内容： f(a) = (1/(2πi)) ∮_γ f(z)/(z-a) dz。用函数在边界上的值决定了它在内部任一点的值
直接推导出全纯函数的无限可微性 它引出了下面最重要的结论之一
刘维尔定理
内容：有界的整函数必是常数
这是皮卡小定理证明的“核心引擎” 许多证明小定理的方法都依赖于构造一个有界的整函数，然后利用刘维尔定理推出矛盾 理解刘维尔定理的证明（基于柯西积分公式）至关重要
级数展开与奇点分析
幂级数与泰勒展开
内容：全纯函数在其收敛圆盘内可以展开为幂级数
这表明全纯函数是无限可微的，并且在其定义域内是“解析的”（可由幂级数表示）
孤立奇点与洛朗级数
内容：
奇点分类：可去奇点、极点、本性奇点的严格数学定义
洛朗级数：函数在孤立奇点附近环域上的展开式 f(z) = Σ_{n=-∞}^∞ a_n (z-a)^n
这是理解皮卡大定理的前提
可去奇点 ⇔ 洛朗级数的主要部分（负幂次项）全为零
极点 ⇔ 洛朗级数的主要部分只有有限项
本性奇点 ⇔ 洛朗级数的主要部分有无限多项
皮卡大定理正是描述本性奇点附近函数行为的终极结论
魏尔斯特拉斯-卡索拉蒂定理
内容：如果 a 是 f(z) 的本性奇点，那么对于任意一个复数 A 和任意 ε > 0，在 a 的 ε 邻域内都存在点 z，使得 |f(z) - A| 任意小 即，f(z) 的值域在本性奇点附近是稠密的
这是皮卡大定理的“前奏”或“弱形式” 皮卡定理将其从“无限接近”（稠密）强化为“精确等于”（至多一个例外）
更深入的定理与工具（通往现代证明的桥梁）
辐角原理与鲁歇定理
内容：用于确定函数在某个区域内零点个数的工具
在一些皮卡定理的证明变体中，它们被用来构造矛盾
解析延拓
内容：如何唯一地扩展一个解析函数的定义域
它体现了全纯函数的“刚性”：一个局部区域上的函数值可以唯一地决定整个定义域上的值 这是复分析与实分析的又一巨大区别
黎曼映射定理
内容：任何单连通区域（不等于整个复平面）都可以共形映射到单位圆盘
它允许我们将复杂区域上的问题转化到单位圆盘这个标准模型上研究
正规族与蒙泰尔定理
内容：
正规族：一族函数，其中任何函数序列都包含一个子序列，该子序列在内部紧集上一致收敛
蒙泰尔定理：一个一致有界的全纯函数族是正规族
这是现代证明皮卡定理的核心工具 证明的大致思路是：假设函数在本性奇点附近漏掉了两个值（比如0和1），那么可以利用模函数构造出一个新的函数族，并证明这个函数族是正规的（即有紧性） 最后，通过奇点附近的行为推导出矛盾
模函数
内容：这是一个定义在复平面上半平面的全纯函数，它将上半平面共形映射到复平面去掉两个点（通常是0和1）它是一个非常复杂的函数，具有许多深刻的数论和几何性质
这是皮卡定理证明的“钥匙” 如果有一个函数 f 漏掉了两个值0和1，那么 f 可以写成 f(z) = λ(g(z))，其中 λ 是模函数，g 是某个全纯函数 这个构造将任意函数的“值域缺失”问题，转化为了对模函数和函数 g 的研究，从而能够应用蒙泰尔定理等工具