物理

初等数学(1)初等代数

1. 乘法公式与因式分解  

① $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$；  

② $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$；  

③ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$；  

④ $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$；  

⑤ $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$；  

⑥ $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})$（$n$ 为正整数）。

2. 一元二次方程  

(1) 一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \ne 0$）的求根公式  

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

(2) 根与系数之间的关系  

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

3. 不等式  

① $a^2 + b^2 \geq 2ab$；

② $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ （$a, b \in \mathbb{R}^+$）；  

③ $a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc$ （$a\gt 0, b\gt 0, c\gt 0$）；  

④ 柯西不等式 $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$；  

⑤ $|a| - |b| \leq |a + b| \leq |a| + |b|$；  

⑥ $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$ （$a_i\gt 0, i = 1, 2, \cdots, n$）。

4. 指数  

① $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$；  

② $a^m \div a^n = a^{m-n}$；  

③ $(a^m)^n = a^{mn}$；  

④ $(ab)^m = a^m b^m$；  

⑤ $\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$；  

⑥ $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$；  

⑦ $a^0 = 1$（$a\gt 0$）。

5. 对数（$\log_a N$, $a\gt 0$, $a \ne 1$）  

① $N = a^{\log_a N}$；  

② $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$；  

③ $\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$；  

④ $\log_a(M^n) = n \log_a M$；

⑤ $\log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_a M$；  

⑥ 换底公式：$\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$；  

⑦ $\log_a 1 = 0$，$\log_a a = 1$。

6. 数列  

(1) 等差数列  

① 通项公式  

$a_n = a_1 + (n - 1)d$  

② 前 $n$ 项的和  

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = n a_1 + \frac{1}{2}n(n - 1)d$

(2) 等比数列  

① 通项公式  

$a_n = a_1 q^{n-1}$  

② 前 $n$ 项的和  

$S_n = \begin{cases}n a_1, & q = 1, \\\frac{a_1 - a_n q}{1 - q} = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}, & q \ne 1.\end{cases}$

(3) 常用数列前 $n$ 项的和  

$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$

$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

7. 排列、组合与二项式公式  

(1) 排列数  

① $A_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1)$（元素不可重复的排列）。  

② $A_n^k = n^k$（元素可以重复的排列）。  

③ $P_n = n(n-1)\cdots3\cdot2\cdot1 = n!$（全排列）。  

(2) 组合数  

$C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \, k!}$

(3) 二项式定理  

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k,\quad n \in \mathbb{N}$