物理

2025年新领军TACA(0试)试题的讨论帖

这里先放一下题目，下面开个讨论楼🌚

1. 满足 $A^5 - A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ 的复矩阵 $A$ 的个数为______。

2. 已知 $\lim_{x \to +\infty} x^2 \left( \sqrt[5]{\frac{3x^3 + 7}{3x^3 - x}} - x \sin \frac{1}{x} \right) = a$，则 $[100a] =$ ______。

3. 已知 $S_n = \int_{\Omega} \sqrt{x_1 + x_2 + \cdots + x_n} dx_1 dx_2 \cdots dx_n$，其中 $\Omega = \{(x_1, x_2, \cdots, x_n) \mid x_1 + x_2 + \cdots + x_n \leq 1, x_i \geq 0, 1 \leq i \leq n \}$。则 $\left[ \frac{2}{99!S_{100}} \right] = $ ______。

4. 设 $A$ 是特征值为 $1, 2, \cdots, 10$ 的 10 阶实对称矩阵，则 $\begin{pmatrix} A & A^2 \\ A^2 & A \end{pmatrix}$ 的特征值的最大可能值为______。

5. 设 $F(y) = \int_0^1 \ln \sqrt{x^2 + y^2} dx$，记 $a = F'_+(0) - F'_-(0) - F(0)$，则 $[100|a|] =$ ______。

6. 设半径为1，球心分别在 $(0,0,0)$ 和 $(0,0,1)$ 的两个球相交部分的体积为 $V$，则 $[120V] =$______。

7. 设 $F(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k}$，$a = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} F(x) dx$。则 $[100e^a] =$______。

8. 设 $a,b$ 是群 $G$ 的两个生成元，满足 $a^3 = b^3 = abab = 1$，则 $G$ 的阶的最大值为______。

9. 记 $S(n,k) = \sum_{j=k}^{n-k} C_j^k C_{n-j}^k$，$I = \frac{S(1000,5)}{S(998,4)}$，则 $[I] = ______。

10. 定义2-adic平方数 $x$ 为：存在无穷整数数列 $\{P_k\}(k \geq 1)$，对任意 $k$，$P_k \equiv P_{k+1} (\text{mod } 2^k)$ 且 $x \equiv P_k^2 (\text{mod } 2^k)$。则在 $1,2,\cdots,100$ 中 2-adic 平方数的个数为 ______。

11. 设整系数多项式 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c(0 \leq a, b, c \leq 4)$，满足对任意首一整数系数非常值多项式 $g(x), h(x)$，都有 $f(x) - g(x)h(x)$ 的所有系数不能被 5 整除。则 $f$ 的个数为______。

12. 设 $u, v, w$ 是三维列向量，满足 $|u| = 1, |v| = |w| = 2$，且三个向量两两夹角为 $60^\circ$。记 $J = \det(I + uu^T + vv^T + uw^T)$，则 $[J] = $ ______。

13. 设 $S$ 是曲线 $x^{\frac{3}{4}} + y^{\frac{3}{4}} = 1$ 围成区域的面积，则 $[160S] = $ ______。

14. 设矩阵

$A = \begin{pmatrix}-4 & 1 & 1 & 1 & 1 \\-10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\-30 & 1 & 4 & 9 & 16 \\-100 & 1 & 8 & 27 & 64 \\0 & 4 & 3 & -9 & 2\end{pmatrix}$

则其伴随矩阵 $A^*$ 特征值的绝对值的最大值为______。

15. 记 $GL_3(\mathbb{C})$ 为复数域上的 3 阶可逆矩阵乘法群，$H$ 是 $GL_3(\mathbb{C})$ 中纯量矩阵组成的正规子群。记 $PGL_3(\mathbb{C}) = GL_3(\mathbb{C})/H$，$p : GL_3(\mathbb{C}) \to PGL_3(\mathbb{C})$ 是自然同态。设 $G$ 是 $PGL_3(\mathbb{C})$ 的一个有限子群，如果存在 $GL_3(\mathbb{C})$ 的有限子群 $\tilde{G}$ 使得 $p(\tilde{G}) = G$，且 $G$ 与 $\tilde{G}$ 的阶相同，则称 $G$ 是可提升的。则 $PGL_3(\mathbb{C})$ 中不可提升的交换子群的阶的最小值为______。