物理

导数进阶帖

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1.1隐函数与反函数求导(此内容感谢@枫原万叶(淡坛 )

反函数的求导法则

若 $ x = \varphi(y) $ 在某区间内单调、可导，且 $ \varphi'(y) \neq 0 $，  

 则其反函数 $ y = f(x) $ 在对应的区间内也可导，且  $ f'(x) = \frac{1}{\varphi'(y)} \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

隐函数的导数

 设 $ y = f(x) $ 是由方程 $ F(x, y) = 0 $ 确定的可导函数。  

 对等式两边同时对 $ x $ 求导，遇到 $ y $ 的函数时视为复合函数，$ y $ 为中间变量，  

 可得到一个含 $ y' $ 的方程，从中解出 $ y' $ 即可。

1.2积分Integration

积分可分为定积分与不定积分

1.2.1不定积分

不定积分是求一个函数的原函数（反导数）的过程。

记作：$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

其中： $ f(x) $：被积函数

$ F(x) $：$ f(x) $ 的一个原函数，即 $ F'(x) = f(x) $

 $ C $：任意常数（积分常数）

例如：$ \int 2x\,dx = x^2 + C$， 因为 $ \frac{d}{dx}(x^2 + C) = 2x $

常见函数积分值

| $ \int x^n\,dx $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \ne -1 $） |

| $ \int \frac{1}{x}\,dx $ | $ \ln|x| + C $ |

| $ \int e^x\,dx $ | $ e^x + C $ |

| $ \int \sin x\,dx $ | $ -\cos x + C $ |

| $ \int \cos x\,dx $ | $ \sin x + C $ |

| $ \int \sec^2 x\,dx $ | $ \tan x + C $ |