2026.9.18更新：

为什么石头剪刀布没有“最优出拳”？

如果让你现在和一个陌生人玩一局石头剪刀布，你会先出什么？

很多人可能会下意识地选石头。也有人会觉得第一把最好出剪刀，因为大家都知道石头是最常见的第一选择。还有人会想，既然对方也在想这些，那干脆随机出。

有意思的是，这几种想法其实都已经碰到了博弈论的问题。

如果你决定第一把一定出石头，那么对手只要知道这一点，就应该出布。于是你知道他会出布之后，又应该改成剪刀。但如果他知道你会因为他的布而出剪刀，他当然又可以换成石头。

石头克剪刀，剪刀克布，布又克石头。

三个选择绕了一圈，谁也没有真正占据优势。

这和很多我们平时遇到的选择不太一样。

比如今天晚上要不要带伞，你可以根据天气预报、下雨的概率和带伞的不方便程度来判断。你最后选带伞还是不带伞，主要取决于外部环境。但石头剪刀布不是这样。你出什么，会直接影响对手；而对手怎么出，又会直接影响你。

所以你不能只问“我应该出什么”，还得问“如果他这么出，我应该怎么办”。

这就是博弈论最基本的出发点。

严格来说，一个最简单的博弈至少要交代几个东西：谁在玩、每个人可以做什么选择、不同结果会带来什么收益，以及玩家是在什么规则下行动。石头剪刀布恰好把这些东西都包含了进去。

两个人是玩家；石头、剪刀、布是策略；赢、输和平局对应不同的收益；双方同时出拳则是行动规则。

把这些东西写出来，我们就可以开始分析这个游戏了。

假设对手明确告诉你：“我这一局一定出石头。”

那你当然应该出布。

这就是所谓的“最佳反应”。它听起来很复杂，其实意思非常简单：在知道对方怎么选择的情况下，你自己应该选择什么。

如果对方出石头，你的最佳反应是布；如果对方出剪刀，你的最佳反应是石头；如果对方出布，你的最佳反应是剪刀。

问题在于，对手也知道这件事情。

他不会傻乎乎地告诉你自己要出什么。如果他知道你会根据他的选择来决定自己的选择，那么他就会继续考虑你的下一步。

这时候，石头剪刀布就从一个“猜拳游戏”变成了一个很典型的战略问题。

我不仅要考虑你会怎么做，还要考虑你知道我会怎么做。

你也一样。

于是就会出现一种很有意思的情况：如果我能够准确预测你的行动，我就可以针对你；但如果你知道我能够预测你，你又会改变自己的行动。

所以在一个理想的石头剪刀布游戏里，你很难找到一个可以一直使用的“最优出拳”。

石头不行，因为布可以克它。

布也不行，因为剪刀可以克它。

剪刀同样不行，因为石头可以克它。

那么怎么办？

最简单的答案就是：别让对方知道你下一次会出什么。

这时候“随机”就出现了。

假设你每次都有三分之一的概率出石头、三分之一的概率出剪刀、三分之一的概率出布。这样一来，对手无论选择什么，都没有办法从你的策略本身获得优势。

比如对方出石头，你有三分之一的概率和他平局，三分之一的概率输给他，还有三分之一的概率赢他。把收益简单设成赢为1、输为-1、平局为0，那么你的期望收益就是：

$\frac{1}{3}$*1+$\frac{1}{3}$*(-1)+$\frac{1}{3}$*0=0

对方出剪刀或者布，结果也是一样。

这就是为什么在标准的石头剪刀布模型里，三种手势各占三分之一，是一个均衡状态。

这里第一次出现了博弈论里一个非常重要的概念：纳什均衡。

纳什均衡并不是说“大家都赢了”，甚至也不意味着结果很好。它说的是，在其他人的策略不改变的情况下，没有人能够只靠改变自己的策略，让自己得到更高的收益。

石头剪刀布的三分之一混合策略就是一个典型例子。

双方都随机，而且随机得足够均匀的时候，你单方面改变策略并不能让自己的期望收益提高。你当然可能某一局赢，但从长期来看，并不会因为你固定选择某一个手势而获得优势。

这里还有一个容易搞错的地方。

所谓随机，并不是让自己的出拳看起来很乱。

如果你每次都按照“石头、剪刀、布、石头、剪刀、布”的顺序出拳，看起来似乎很有规律，但这当然不是真正意义上的随机。因为对手只要记住这个顺序，就能提前知道你下一次是什么。

同样，如果你连续出了三次石头，第四次觉得“差不多该换了”，这其实也不是真正的随机。因为你的对手同样可能利用这种心理。

现实中的猜拳其实远比数学模型复杂。人会记住上一轮，会故意反套路，会根据对手的性格做判断，甚至会产生一些自己都没有意识到的习惯。但这些东西并不会让最基本的模型失去意义。恰恰相反，模型之所以从这么简单的游戏开始，是因为它先把最核心的关系单独拿了出来。

我的选择影响你的收益，你的选择又影响我的收益。

因此，我不能只研究自己。

这件事看起来非常普通，却是理解博弈论最重要的一步。

经济学里，两家公司决定价格时是这样；两个国家考虑军费和外交政策时也是这样；两个人谈判时同样如此。甚至在一个很普通的团队里，一个人决定努力还是摸鱼，也可能取决于他认为其他人会不会努力。

只要你的结果取决于别人，而别人的结果又取决于你，我们就进入了博弈论所研究的世界。

所以石头剪刀布真正有意思的地方，从来不是“到底出石头还是剪刀”。

它真正提出的问题是：

如果对手也在思考，我应该怎么思考？

而当所有人都在这样思考的时候，最终会形成什么样的结果？

这就是博弈论接下来要回答的问题。

2026.9.28更新：静态博弈

前面说到石头剪刀布，我们其实已经接触到了博弈论里最基本的一种情况。

两个人站在一起，同时出拳。你不知道他这一轮会出什么，他也不知道你会出什么。等双方都做出选择以后，结果才会出现。

这种博弈在博弈论里叫做静态博弈。

这里的“静态”并不是说游戏不发生变化，也不是说玩家不会思考。它真正强调的是：玩家做出选择的时候，并不知道其他玩家这一轮具体选择了什么。

石头剪刀布就是一个最简单的例子。

你有三个策略：石头、剪刀、布。对手也有三个策略。两个人分别选择一个策略以后，就会得到一个结果。

如果把赢记作1，输记作-1，平局记作0，那么整个游戏就可以写成这样：

这张表叫做收益矩阵。

它的作用其实很简单：把一个博弈中所有可能出现的结果列出来。

比如左下角的“1，-1”，意思就是你出布，对方出石头，你赢1分，对方输1分。

有了这张表，我们就可以开始问一个很重要的问题：

如果你知道对方会出什么，你应该怎么选择？

假设对方一定出石头，那么你当然应该出布。

如果对方一定出剪刀，你应该出石头。

如果对方一定出布，你应该出剪刀。

这就是前面提到的最佳反应。

但静态博弈真正有意思的地方，是我们通常并不知道对方会选择什么。

所以你不能只计算“对方出石头时我怎么办”，而必须把所有可能性都考虑进去。

这也是为什么收益矩阵很重要。它让我们可以把玩家之间的相互影响直接摆在桌面上。

再换一个例子。

假设有两家电影院，它们正在决定票价。

两家都卖高价的时候，各自可以赚5；如果一家降价而另一家保持高价，降价的一家可以吸引更多顾客，赚7，而另一家只能赚1；如果两家都降价，因为价格战，最后各自只能赚3。

那么收益矩阵就是：

现在站在A的角度看。

如果B选择高价，A选择低价可以得到7，比高价的5多。

如果B选择低价，A继续保持高价只能得到1，而选择低价可以得到3。

也就是说，不管B做什么，A选择低价得到的收益都更高。

B也是一样。

于是最后两家都会选择低价。

这就是我们之前讲过的囚徒困境。

两家都低价以后，各自得到3。但如果双方都保持高价，各自可以得到5。

这里出现了博弈论中一个非常重要的概念：支配策略。

如果无论对方怎么选择，一个策略带来的收益都比另一个策略高，那么前者就支配后者。

刚才的例子里，“低价”就是一个严格支配策略。

这种策略很好理解，因为你甚至不需要知道对方准备做什么，就已经知道自己应该怎么做。

但并不是所有博弈都有这么清楚的答案。

石头剪刀布就是一个例子。

石头有时候好，有时候不好；剪刀和布也是如此。没有一个策略能够在所有情况下都胜过其他策略。

所以分析博弈时，我们还需要换一个问题：

如果我知道你的选择，我会怎么选？

而如果你也知道我的选择，你又会怎么选？

当双方的最佳反应刚好互相对应时，就出现了纳什均衡。

例如在前面的低价博弈中，A选择低价是对B低价的最佳反应，而B选择低价也是对A低价的最佳反应。

所以“低价、低价”就是一个纳什均衡。

这时候我们就可以把静态博弈的基本思路串起来了：

先确定玩家和他们可以选择的策略，再把不同策略组合产生的收益写出来，然后比较每个玩家在不同情况下的最佳反应，最后寻找这些最佳反应交汇的地方。

石头剪刀布、两家企业定价、囚徒困境，看起来是三个完全不同的问题，但在博弈论的眼里，它们都可以被放进同一张收益矩阵里。

区别只在于矩阵里的数字不同。

而数字一旦改变，玩家的最佳反应可能改变，纳什均衡也可能改变。

这也是静态博弈最值得理解的一点：我们并不是在研究某一个具体的游戏，而是在研究当不同人的选择彼此影响时，结果究竟是怎样形成的。

下一步的问题自然就来了。

如果一个策略明显比另一个策略差，我们能不能先把它删掉？如果删掉以后，又出现了新的“明显劣势策略”，是不是还能继续删？

这就是下一步要讲的支配策略与迭代删除。