数学

质心群里的一道被问的题目Integrate[x*(Sin[n*x]/Sin[x])^4, x]

证明：对任意正整数$n$，有

$$\int_{0}^{\pi/2} x\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)^{4}\,dx\leqslant \left(\frac{n^{2}}{4}-\frac{1}{8}\right)\pi^{2}.$$

设

$$F_n(x)=\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)^2= n+2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\cos(2kx).$$

要证明

$$\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)^2= n+2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\cos(2kx),$$

用复指数与等比数列即可。

设$z=e^{i2x}$，令

$$S=\sum_{k=0}^{n-1} z^k=\frac{1-z^n}{1-z}.$$

一方面，

$$\frac{1-z^n}{1-z}=\frac{1-e^{i2nx}}{1-e^{i2x}}=\frac{-2ie^{inx}\sin(nx)}{-2ie^{ix}\sin x}=e^{i(n-1)x}\frac{\sin(nx)}{\sin x},$$

故

$$|S|^2=\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)^2.$$

另一方面，

$$|S|^2=S\overline{S}=\Big(\sum_{k=0}^{n-1} z^k\Big)\Big(\sum_{\ell=0}^{n-1} \bar z^{\,\ell}\Big)=\sum_{k,\ell=0}^{n-1} z^{k-\ell}=\sum_{m=-(n-1)}^{n-1} (n-|m|) z^{m}.$$

取实部（因为$|S|^2$为实数），并用 $z^{m}=e^{i2mx}$ 得

$$|S|^2= n+2\sum_{m=1}^{n-1}(n-m)\cos(2mx).$$

将两种表达式的 \(|S|^2\) 相等，即得

$$\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)^2= n+2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\cos(2kx).$$

证毕。

于是

$$F_n(x)^2=A_0+2\sum_{m=1}^{2n-2}A_m\cos(2mx)\tag{1}$$

其中

$$A_0=n^2+2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)^2=\frac{2n^3+n}{3},\qquad A_m=2\sum_{k=0}^{\,n-1-m}(n-k)(n-m-k)\ (1\le m\le n-1),$$

且$A_m\geqslant 0$，并由对称性$A_m=A_{2n-2-m}$。

另一方面，$x$在区间$[0,\pi/2]$上的余弦级数为

$$x=\frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum_{r=1}^{\infty}\frac{\cos\!\big(2(2r-1)x\big)}{(2r-1)^2}.\tag{2}$$

将 (1) 与 (2) 相乘并在$[0,\pi/2]$上积分，利用正交性

$$\int_{0}^{\pi/2}\cos(2mx)\,dx=0\ (m\geqslant 1),\qquad\int_{0}^{\pi/2}\cos(2mx)\cos(2kx)\,dx=\begin{cases}0,& m\ne k,\\[2mm]\displaystyle \frac{\pi}{4},& m=k,\end{cases}$$

得到

$$I_n:=\int_{0}^{\pi/2}x\,F_n(x)^2\,dx=\frac{\pi^2}{8}A_0-\sum_{r=1}^{n-1}\frac{A_{2r-1}}{(2r-1)^2}.\tag{3}$$

对$A_{2r-1}$作求和计算（令$p=n-k$），对$1\leqslant r\leqslant n-1$有

$$A_{2r-1}=2\sum_{p=r}^{n} p\big(p-(2r-1)\big)=\frac{2n^3+n}{12}-\frac{n(n+1)}{2}(2r-1)+r(2r-1)^2.\tag{4}$$

将 (4) 代入 (3) 并化简得

$$I_n=\left(\frac{n^2}{4}-\frac{1}{8}\right)\pi^2-\sum_{r=1}^{n-1}\frac{r(n-r)}{(2r-1)^2}.\tag{5}$$

因为对所有$r=1,\dots,n-1$，有$r(n-r)\geqslant 0$，由 (5) 立刻推出

$$I_n\leqslant \left(\frac{n^2}{4}-\frac{1}{8}\right)\pi^2.$$

证毕。