填坑填坑😋
有一天，芒狗正在路上瞎逛，被突然冲出来的管家活活打断了双腿🤓
其中，芒狗瞎逛和管家打断双腿均为事件（event）
根据生活经验，我们不难得到时间的发生需要一定空间和一定时间，这直接导致了时空的出现
时空（spacetime）就是全部事件的集合，在一个时空中，每个事件也可以视为一个时空点，可以由四个参数确定，即$(x,y,z,t)$
在我们一般研究的惯性系中，$x,y,z$都是依赖于$t$的，所以我们完全可以认为一个惯性系在四维时空中只有三个自由度
还是说...💦💦💦
$\huge{伽利略变换与牛顿力学}$
我们可以先建立惯性系$S(O,x,y,z)$以及惯性系$S’(O’,x’,y’,z’)$
令$t=t’=t_0 $时，$O$与$O’$重合
易得
$x’=x-v_x t$
$y’=y-v_y t$
$z’=z-v_z t$
$t=t’$
这里为了方便研究令$v_y =v_z =0$
可以看出在经典力学的背景下时间是绝对的，是背景量，不因惯性系的不同而改变
而这个变换式称为伽利略变换，体现了时间在经典力学里的背景性，是绝对的，不可改变的
通过简单的质点动力学知识，我们不难得到加速度和质量（这个在经典力学中很显然）对于伽利略坐标变换是不变的，也就是力是不变的
一更😋
详见@淡坛版杰瑞的相对论简史，我们可以知道在19xx年的汤姆—孙莫雷实验推翻了“以太”学说
我们禽爱的洛仑兹先生为了弥合这个实验与经典物理的裂缝，提出了洛仑兹变换
虽然没能成为被一致认为的相对论发现者（爱因斯坦：？)，却为爱因斯坦的钟慢效应尺缩效应以及广义相对论的诞生做了铺垫
我们将会在接下来的推导中使用以下几条原理
- 光速不变原理：由汤姆逊—莫雷实验得到，光对于任意惯性系的速度均为光速$c$
- 相对性原理：所有物理定律在所有惯性系下成立
- 时空均匀性：时空变换为线性变换
根据伽利略变换的内容，我们直接引用$S$和$S'$系
设$t=t_0 =0$时原点重合，时件在$S$和$S'$系中的坐标为$(x,y,z,t)，(x',y',z',t')$
令$y=y'，z=z'$
由时间匀称性我们可以设
$x'=a_{11} x+a_{12} t\, (1)，t'=a_{21} x +a_{22} t\, (2)$
由于$S'$系中原点$O'$坐标恒为$0$，带入变换式中得
$0=a_{11} x+a_{12} t$
因为原点处满足$x=vt$
所以有
$a_{12} =-a_{11} v$
代入$(1)$得
$x' =a_{11} (x-vt)$
带入$S$的原点及其对应速度$-v$得
$x'=-a_{11} vt ，t'=a_{22} t$
然后根据$x'=-vt'$得
$a_{11} = a_{22}$
不妨设$a_{11} = a_{22} =γ$，得
$x'=γ(x-vt) \, (3)，t'=a_{21} x +γt \, (4)$
这时引入光速不变原理，在$S$和$S'$系中$x=ct，x'=ct'$
带入变换得
$x'=γt(c-v) \, (5)，t'=t(a_{41} c+γ)\, (6)$
再带入$x'=ct'$，得
$γ(c-v)=c(a_{21} c+γ)$
不难解得
$a_{41} =-\frac{γv}{c^2}$
带入，得
$t'=γ(t-\frac{vx}{c^2}$
好了那么我们的变换原本设的系数就只剩$γ$了
只要解决$γ$此问题就迎刃而解了😋
这时我们可以注意到球波公式$x^2 +y^2 +z^2 =c^2 t^2 和x'^2 +y'^2 +z'^2 =c^2 t'^2$
其中一开始我们假设$y=y'，z=z'$，剩下的四个参数的变换公式我们都有，带入加爆算最终会得到这样的一个方程：
$γ^2 (1-(\frac{v}{c})^2 =1$
解得
$γ=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2 }}$
整理，得到变换式为
$x'=γt(c-v)$
$y'=y$
$z'=z$
$t'=γ(t-\frac{vx}{c^2}$
其中$γ=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2 }}$，被称为洛仑兹因子
完更完更😋碎觉😋
- 1
$\huge{相对论速度变换}$
首先我们先把上次的变换公式打出来，为了方便，我们记$β=\frac{v}{c}$
那么
$x'=γ(x-vt)$
$t'=γ(t-β\frac{x}{c} )$
$γ=\frac{1}{\sqrt{1-β^2 }}$
($y$和$z$略)
根据某些不知名教材的某些不知名方法，我们知道
$v=\frac{dx}{dt} ,v'=\frac{dx'}{dt'}$
根据洛仑兹变换式易得
$dx'=γ(dx-vdt)$
$dt'=γ(dt-β\frac{dx}{c} )$
上下一除，得到
$v_x'=\frac{dx-vdt}{dt-\frac{v}{c^2}dx}=\frac{v_x -v}{1-\frac{v}{c^2}v_x }$
同理可导
$v_y'=\frac{v_y}{γ(1-\frac{v}{c^2}v_x )}$，$v_z$类似，具体过程留给读者自证(其实是我懒👀🤓💦
但是，这里我们注意到有两个速度$v$和$v_x$
原因解释一下哈，$v$是两个参考系间的相对速度，而$v_x$是物体相对于我们设定静止的参考系的速度，$v_x'$是物体相对于另一参考系的速度
其逆变换为
$v_x =\frac{v_x' -v}{1+\frac{v}{c^2}v_x' }$
$v_y=\frac{v_y'}{γ(1+\frac{v}{c^2}v_x' )}$
$v_z=\frac{v_z'}{γ(1+\frac{v}{c^2}v_x')}$
我们不难得到以下结论
1,当$v,v_x $远远小于$c$时，我们可以近似忽略其变化，即位伽利略变换
2,当$v_x'=c$时，$v_x=\frac{c+v}{1+cv/c^2}=c$满足我们的假设(光速不变原理)，说明这个理论的自洽性
今天更完了，留个例题
在地面上测得两飞船$A,B$的速度分别为$+0.7c,-0.9c$沿相反方向飞行，求$A$相对于$B$的速度
$\huge{狭义相对论的时空观}$
在学习完洛仑兹的小变换后，我们已经知道了时间在不同惯性系下是不同的👀
我们的Albert·小爱同学最先提出这玩意ta不对🤔
同一个事件在不同惯性系下发生的时刻是不一样的
那我们是不是能找到两个事件，使ta们在不同惯性系下同时发生🤔
虽然是两个事件，在同一个惯性系下发生时刻不同，但对于不同惯性系相同👀
好像也不是不行👁️👄👁️💩
于是小爱同学提出了"同时"的相对性
例子如上👀
那我们只要算同一个事件对于$t=0$到事件发生时对于两个参考系的时间变化量就不难得到两个惯性系下时间的流速的区别
（上面这段可以好好想想到底是怎么回事
那么我们继续引用上次的例子进行推导
我们知道$∆t'=t_2' -t_1'$
然后带入洛仑兹变换式
即
$∆t' =γ(t_2 -\frac{vx}{c^2} )-(t_1 -\frac{vx}{c^2} ) =γ(t_2 -t_1 ) =γ·∆t$
这就是大冥钉钉的钟慢效应(time dilation)
那这时葱冥的小鹏由就发现了👀
既然洛仑兹变换中的时间变换都可以相减
那我把$x$也减一下不也可以吗👀
啊那我直接拿$x'$相减得到$∆x'=γ∆x$简直是衰气逼人👀
那么恭喜你：你掉进陷阱啦🤓
这里不难看出ta测量的距离并非同一时刻所测，根据洛仑兹变换长度完全不一样你不直接炸了🤓
为了保证其测量的同时性我们可以算
$∆x=x_2 -x_1 =γ∆x'
变个型就是
$∆x' =\frac{∆x}{γ}$
一般会把$∆x$换成$l$以表明“长度变换”
即
$l' =\frac{l}{γ}$
我们称这个效应为尺缩效应(length contraction)
留两道例题
- 已知卫星绕地球的运动速度为$7.9×10^3 km/s$，求在不考虑相对论效应的情况下和真实情况下(考虑相对论)所产生的时间误差与无线电信号产生的距离误差。
- [拓展]试解决双生子佯缪。