数学

勾股定理拓展——余弦定理

前言：(哎，这次有了☝️🤓)余弦定理是勾股定理的拓展，详见“关于勾股定理”

        算了直接进入正题

$$\huge{余弦定理（Law of Cosines）}$

        余弦定理是三角学中的一个基本定理，用于计算任意三角形（非仅限于直角三角形）的边长或角度。它是勾股定理的推广，适用于所有类型的三角形（锐角、直角或钝角）。

        公式余弦定理的标准形式为：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab · cos(C)$其中：$a、b、c$是三角形的三条边长。$C$是边$c$对应的角（即角$C$位于边$c$的对侧）。$cos(C)$是角$C$的余弦值。公式还可以针对其他边和角进行变形：例如求边$a$：$a^2=b^2+c^2-2bc·cos(A)$求边$b$：$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac · cos(B)$

$$\huge{用途：}$

        当已知三角形的两条边及其夹角时，可以求第三边；或已知三边时，可以求任意角（通过反余弦函数）。

$$\huge{与勾股定理的关系：}$

        当角$C = 90°$时，$cos(90°)=0$，公式简化为$c^2=a^2+b^2$，看出什么了吗？没错！这就是勾股定理🙃。

$$\huge{适用性：}$

        它对任意三角形有效，尤其在非直角三角形中非常好用👍。我们不妨假设一个三角形，边长$a = 5，b = 7$，夹角$(C = 60°)$，求边$c$。相信聪明的你已经知道怎么计算了吧🤓？1.公式代入：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab · cos(C) = 5^2 + 7^2 - 2 · 5 · 7 · cos(60°)$2.计算：$cos(60°) = 0.5$   $c^2 = 25 + 49 - 2 · 5 · 7 · 0.5 = 74 - 35 = 39$因此，$c = \sqrt{39} ≈ 6.24$

$$\huge{应用：}$

        在几何、物理、工程和导航中，用于解决距离、角度问题。例如：测量不可直接到达的两点间距离，或计算力的合成。

                                                                                                     本帖若有问题，欢迎指出，谢谢😋