物理

宇宙超级无敌螺旋升天big核聚变 四

在任意三角形 ABC 中，存在唯一一点 P，使得：  

∠PAB = ∠PBC = ∠PCA = ω  

这个角 ω 称为布洛卡角，满足：  

cot ω = (a² + b² + c²) / (4K)  

其中 a, b, c 是边长，K 是面积。  

证明  

设三角形 ABC 的三边分别为 a = BC, b = AC, c = AB，面积为 K。使得 ∠PAB = ∠PBC = ∠PCA = ω。  

由对称性和几何性质，这样的点 P 唯一存在。  

利用正弦定理和角度关系，可得：  

在 △PAB、△PBC、△PCA 中，分别有：  

sin(∠PBA) / AP = sin(ω) / AB  

通过联立三个三角形的正弦关系，并结合面积公式 K = (1/2)ab sin C，最终可推导出：  

cot ω = (a² + b² + c²) / (4K)  

该公式是布洛卡点的经典结论，可通过向量或复数方法严格验证。  

帕普斯定理（体积版）  

若一个平面图形绕不在其平面上的轴旋转一周，则所生成旋转体的为：  

V = A × d  

其中 A 是图形面积，d 是图形质心绕轴旋转的路径长度。  

证明  

将图形分为无数小区域 ΔAᵢ，每个区域到旋转轴的距离为 rᵢ。  

当图形旋转时，ΔAᵢ 扫过的体积为 ΔAᵢ × 2πrᵢ。  

总体积 V = Σ(ΔAᵢ × 2πrᵢ) = 2π × Σ(rᵢ ΔAᵢ)  

而 Σ(rᵢ ΔAᵢ) / ΣΔAᵢ 是质心到轴的距离 R，所以 Σ(rᵢ ΔAᵢ) = R × A  

因此 V = 2π × R × A = A × d，其中 d = 2πR 是质心运动的路径长度。  

费尔马-韦达恒等式  

设 r, s, t 是方程 x³ + ax² + bx + c = 0 的根，则：  

r³ + s³ + t³ = (r+s+t)³ − 3(r+s+t)(rs+rt+st) + 3rst  

证明  

从恒等式展开：  

(r+s+t)³ = r³ + s³ + t³ + 3r²s + 3r²t + 3s²r + 3s²t + 3t²r + 3t²s + 6rst  

计算 3(r+s+t)(rs+rt+st)：  

= 3[r(rs+rt+st) + s(rs+rt+st) + t(rs+rt+st)]  

= 3[r²s + r²t + rst + rs² + rst + s²t + rst + rt² + st²]  

= 3r²s + 3r²t + 3rs² + 3s²t + 3rt² + 3st² + 9rst  

代入右边：  

(r+s+t)³ − 3(r+s+t)(rs+rt+st) + 3rst  

= [r³ + s³ + t³ + 3r²s + 3r²t + 3s²r + 3s²t + 3t²r + 3t²s + 6rst]  

− [3r²s + 3r²t + 3rs² + 3s²t + 3rt² + 3st² + 9rst]  

+ 3rst  

合并同类项后，所有交叉项抵消，仅剩 r³ + s³ + t³  

因此等式成立。  

Titu 引理  

对任意实数 a₁,...,aₙ 和正实数 x₁,...,xₙ：  

∑(aᵢ² / xᵢ) ≥ (∑aᵢ)² / (∑xᵢ)  

证明  

应用柯西不等式：  

(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)²  

取 bᵢ = √xᵢ，aᵢ = aᵢ / √xᵢ  

则左边变为：  

∑(aᵢ² / xᵢ) × ∑xᵢ  

右边变为：  

∑aᵢ  

所以：  

[∑(aᵢ² / xᵢ)] × [∑xᵢ] ≥ (∑aᵢ)²  

两边除以 ∑xᵢ（正数），得：  

∑(aᵢ² / xᵢ) ≥ (∑aᵢ)² / (∑xᵢ)  

纳皮尔不等式  

对任意 0 < a < b：  

1/b < (ln b − ln a)/(b − a) < 1/a  

证明  

考虑函数 f(x) = ln x，在区间 (a,b) 上连续可导，f'(x) = 1/x。  

由拉格朗日中值定理，存在 ξ ∈ (a,b)，使得：  

f(b) − f(a) = f'(ξ)(b − a)  

即：  

ln b − ln a = (1/ξ)(b − a)  

所以：  

(ln b − ln a)/(b − a) = 1/ξ  

由于 a < ξ < b，故 1/b < 1/ξ < 1/a  

即：  

1/b < (ln b − ln a)/(b − a) < 1/a