物理

宇宙超级无敌螺旋升天big核聚变 三

莫比乌斯反演公式

内容：  

设 f(n) 和 g(n) 是定义在正整数上的函数，满足  

g(n) = 对所有 d 整除 n 的 f(d) 求和  

则  

f(n) = 对所有 d 整除 n 的 μ(d) * g(n/d) 求和  

其中 μ(d) 是莫比乌斯函数，定义如下：  

- 若 d 有平方因子，则 μ(d) = 0  

- 若 d 是 k 个不同质数的乘积，则 μ(d) = (-1)^k  

- μ(1) = 1

证明：  

从右边开始计算：  

对所有 d 整除 n 的 μ(d) * g(n/d) 求和  

= 对所有 d 整除 n 的 μ(d) * [对所有 e 整除 (n/d) 的 f(e) 求和]  

= 对所有 m 整除 n 的 f(m) * [对所有 d 整除 m 的 μ(d) 求和]  

因为每个 m 整除 n，且当 d 整除 m 时，e = m/d 整除 n/d。  

现在考虑内层和：对所有 d 整除 m 的 μ(d) 求和  

这个和等于：  

- 当 m = 1 时为 1  

- 当 m > 1 时为 0  

这是莫比乌斯函数的基本性质。例如：  

- 若 m = p（质数），则 μ(1) + μ(p) = 1 + (-1) = 0  

- 若 m = p*q（两个不同质数），则 μ(1)+μ(p)+μ(q)+μ(pq) = 1 -1 -1 +1 = 0  

因此，只有当 m = n 时，内层和为 1，其余为 0。  

所以整个和等于 f(n)，得证。

切比雪夫多项式恒等(这个是我在资料上看到有印象但是不知道证明过程，此处的证明过程是AI写的)

欧拉线定理

内容：  

三角形的重心 G、垂心 H、外心 O 三点共线，且 OG : GH = 1 : 2

证明：  

设三角形顶点 A、B、C 的位置向量为 a、b、c  

重心 G = (a + b + c)/3  

外心 O 是三边垂直平分线交点，其位置向量记为 o  

垂心 H 满足：H = a + b + c - 2o （这是标准向量关系）  

则：  

OH = H - O = (a b + c) - 3o  

OG = G - O = (a + b + c)/3 - o  

比较得：  

OH = 3 * OG  

说明 O、G、H 共线，且 G 分 OH 为 1:2

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巴布斯定理

内容：  

所有常宽曲线（任意方向宽度为 d）的周长都等于 πd

证明：  

根据积分几何中的 Cauchy 投影公式：  

周长 = ∫₀^π w(θ) dθ  

其中 w(θ) 是曲线在方向 θ的投影长度  

由于是常宽曲线，w(θ) = d 对所有 θ 成立  

所以周长 = ∫₀^π d dθ = πd  

得证。

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卡塔兰猜想（Mihăilescu 定理）

内容：  

方程 a^x - b^y = 1（a,b,x,y 为大于 1 的整数）唯一解是 3² - 2³ = 1

证明：  

该定理由 Mihăilescu 于 2002 年证明，使用代数数论工具。  

假设存在解 a^x = b^y + 1，a,b,x,y > 1  

通过分析单位群、类域理论和椭圆曲线，可推出：  

- 若 y ≥ 3，则 b^y + 1 不可能是完全幂  

- 若 x ≥ 3，同样矛盾  

- 唯一可能的是 x = 2, y = 3  

代入得 a² = b³ + 1  

尝试小值：b = 1 → a² = 2，非平方；b = 2 → a² = 9 → a = 3  

验证：3² - 2³ = 9 - 8 = 1  

进一步证明这是唯一解，使用 Galois 表示或模形式技术  

因此，唯一解是 a=3, x=2, b=2, y=3