物理

极简点集拓扑

不会Latex致歉，有时间补上

本人蒟蒻，欢迎纠错

对于在AOPS等论坛上混迹许久的本人来说，学术帖的一点精髓就是一一

水贴愉快~

点集拓扑核心概念与证明‌

拓扑学常被称为“橡皮泥几何”，它研究空间在连续变形（拉伸、压缩、扭曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质  大学阶段的拓扑学入门通常从‌点集拓扑 (Point-Set Topology)‌ 或‌一般拓扑 (General Topology)‌ 开始（这俩完全一样哈），它为后续学习代数拓扑、微分拓扑等分支奠定严格的逻辑基础  

本篇帖子将详解点集拓扑的核心内容（可能也不太详细）

基础定义与概念

拓扑空间 (Topological Space)：‌

定义：‌ 一个‌拓扑空间‌是一个有序对 (X, τ)，其中：

X 是一个非空集合（称为‌底集‌或‌承载点集‌）

τ 是 X 的‌子集族‌（即 τ 是 X 的幂集 P(X) 的一个子集） 

τ 必须满足以下三个公理：

空集和全集属于 τ：‌ ∅ ∈ τ 且 X ∈ τ (空集和全集都是开集)

任意并运算封闭：‌ 如果 {U_i | i ∈ I} 是 τ 中任意一族元素（I 是任意指标集），那么它们的并集 ∪_{i∈I} U_i 也属于 τ   (任意多个开集的并还是开集)

有限交运算封闭：‌ 如果 {U_1, U_2, ..., U_n} 是 τ 中有限个元素，那么它们的交集 ∩_{k=1}^n U_k 也属于 τ   (有限个开集的交还是开集)

术语：‌

集合 τ 称为 X 上的一个‌拓扑 (Topology)‌ 

τ 中的元素称为‌开集 (Open Sets)‌

X 中的元素称为‌点 (Points)‌

开集定义了空间中点的“邻近性”或“可见性”   一个点属于一个开集，意味着该点在该开集描述的“邻域”内

例：‌

平凡拓扑 (Trivial Topology):‌ τ = {∅, X} 这是最“粗糙”的拓扑，开集最少 邻近性概念很弱。

离散拓扑 (Discrete Topology):‌ τ = P(X)，即 X 的所有子集都是开集 这是最“精细”的拓扑 每个点都是孤立的，邻近性概念最强（只有自身最邻近）

实数集的标准拓扑 (Standard Topology on R):‌ τ 包含了所有满足以下条件的子集 U：对于 U 中的每一点 x，都存在一个开区间 (a, b) (其中 a < x < b)，使得 (a, b) ⊆ U 开区间 (a, b) 本身是开集

余有限拓扑 (Cofinite Topology):‌ 定义在无限集 X 上。开集是空集 ∅ 和那些补集是有限集的子集 U（即 U 是开集当且仅当 X \\ U 是有限集或 U = ∅） 这个拓扑中，有限集是闭集（见下文闭集定义）

邻域 (Neighborhood)：‌

定义：‌ 设 (X, τ) 是一个拓扑空间，x ∈ X X 的一个子集 N 称为点 x 的一个‌邻域‌，如果存在一个开集 U ∈ τ，使得 x ∈ U ⊆ N

Key point：‌

邻域 N 本身不一定是开集 它只需要包含一个包含 x 的开集

开集 U 是它包含的每一个点 x ∈ U 的邻域（取 N = U 即可）

邻域系统完整地刻画了拓扑：一个集合 U 是开的当且仅当它对包含的每一点都是邻域

点 x 的邻域 N 是包含了 x 及其“附近”所有点的集合。拓扑 τ 决定了什么样的集合可以算作“附近”

闭集 (Closed Sets)：‌

定义：‌ 设 (X, τ) 是一个拓扑空间。X 的一个子集 F 称为‌闭集‌，如果它的补集 X \\ F 是开集（即 X \\ F ∈ τ）

性质 (由开集公理对偶得到)：‌

空集 ∅ 和全集 X 都是闭集

任意多个闭集的交集是闭集

有限个闭集的并集是闭集

闭集包含了它所有的“极限点”（见下文） 开集和闭集不是互斥的 一个集合可以既不开也不闭（如区间 [0, 1) 在 R 的标准拓扑下），也可以既开又闭（称为‌开闭集 (Clopen Sets)‌，例如在离散拓扑中，任何子集都是开闭集；在实数标准拓扑中，R 和 ∅ 是唯一的开闭集）

内部 (Interior)、闭包 (Closure)、边界 (Boundary)：‌

内部 (Interior) - Int(A) 或 A°：‌

定义：‌ 设 A ⊆ X。点 x ∈ X 称为 A 的一个‌内点‌，如果存在 x 的一个邻域 N，使得 N ⊆ A A 的‌内部‌ Int(A) 是 A 的所有内点的集合

性质：‌

Int(A) 是开集（它是所有包含于 A 的开集的并集）

Int(A) 是包含于 A 的最大开集 （任何包含于 A 的开集都包含于 Int(A)）

A 是开集当且仅当 A = Int(A) 

闭包 (Closure) - Cl(A) 或 Ā：‌

定义：‌ 点 x ∈ X 称为 A 的一个‌接触点 (Adherent Point)‌，如果 x 的每一个邻域 N 都与 A 相交（即 N ∩ A ≠ ∅）。A 的‌闭包‌ Cl(A) 是 A 的所有接触点的集合 

等价定义：‌ x ∈ Cl(A) 当且仅当对于 x 的每一个邻域 N，有 N ∩ A ≠ ∅ 

性质：‌

Cl(A) 是闭集（它是所有包含 A 的闭集的交集）

Cl(A) 是包含 A 的最小闭集（任何包含 A 的闭集都包含 Cl(A)）

A 是闭集当且仅当 A = Cl(A)

Cl(A) = A ∪ A'（其中 A' 是 A 的导集，见下文极限点）

边界 (Boundary) - Bd(A) 或 ∂A：‌

定义：‌ A 的‌边界‌定义为 Bd(A) = Cl(A) Int(A)

等价定义：‌ x ∈ Bd(A) 当且仅当 x 的每一个邻域 N 都同时包含 A 中的点和 X \\ A 中的点（即同时与 A 和它的补集相交）

性质：‌ Bd(A) 是闭集

内部：‌ A 的“核心”部分，完全不接触 A 的外部

闭包：‌ A “加上”它所有无限接近的边界点

边界：‌ A 和它的补集“相遇”的地方

极限点、导集、孤立点、稠密性：‌

极限点 (Limit Point) / 聚点 (Accumulation Point)：‌

定义：‌ 设 A ⊆ X。点 x ∈ X 称为 A 的一个‌极限点‌，如果 x 的 ‌每一个‌ 邻域 N 都至少包含 A 中一个 ‌不同于‌ x 本身的点即：对于 x 的任意邻域 N，有 (N \\ {x}) ∩ A ≠ ∅

等价定义：‌ x 是 A 的极限点当且仅当 x ∈ Cl(A \\ {x})

导集 (Derived Set) - A'：‌ A 的所有极限点的集合称为 A 的‌导集‌，记作 A'

孤立点 (Isolated Point)：‌

定义：‌ 点 x ∈ A 称为 A 的一个‌孤立点‌，如果存在 x 的一个邻域 N，使得 N ∩ A = {x}。（即 x 不是 A 的极限点）

等价地，x 是 A 的孤立点当且仅当 {x} 是 A 中的相对开集

稠密性 (Density)：‌

定义：‌ 设 A ⊆ X A 称为在 X 中‌稠密 (Dense)‌，如果 Cl(A) = X

等价定义：‌ A 在 X 中稠密当且仅当 X 中的每一个非空开集 U 都包含 A 中的点（即 U ∩ A ≠ ∅）

例：‌ 有理数集 Q 在实数集 R（标准拓扑）中稠密；整数集 Z 在 R 中不稠密

无处稠密 (Nowhere Dense)：‌

定义：‌ 设 A ⊆ X。A 称为‌无处稠密‌，如果 Int(Cl(A)) = ∅

 A 的闭包内部是空的，意味着 A 的闭包不会包含任何开集（除了空集），它非常“稀疏”

例：‌ 整数集 Z 在 R 中是无处稠密的（它的闭包是自身，内部是空集）；R 中的单点集也是无处稠密的；但有理数集 Q 是稠密的，不是无处稠密的 (Cl(Q)=R, Int(R)=R ≠ ∅)

基 (Base) 和子基 (Subbase)：‌

基 (Base)：‌

定义：‌ 设 (X, τ) 是一个拓扑空间 τ 的一个子集族 B 称为拓扑 τ 的一个‌基‌，如果 τ 中的每一个开集都可以表示为 B 中某些元素的并集 即：对于任意 U ∈ τ 和任意 x ∈ U，存在 B ∈ B，使得 x ∈ B ⊆ U

性质：‌ 一个子集族 B ⊆ P(X) 是某个拓扑的基当且仅当：

对于每个 x ∈ X，存在至少一个 B ∈ B 包含 x (覆盖性)

如果 B_1, B_2 ∈ B 且 x ∈ B_1 ∩ B_2，那么存在 B_3 ∈ B，使得 x ∈ B_3 ⊆ B_1 ∩ B_2 (对有限交封闭)

例：‌

实数标准拓扑：所有开区间 (a, b) 构成一个基。

离散拓扑：所有单点集 {x} 构成一个基 

子基 (Subbase)：‌

定义：‌ 设 (X, τ) 是一个拓扑空间 τ 的一个子集族 S 称为拓扑 τ 的一个‌子基‌，如果 S 中元素的所有有限交构成的集合 B = {S_1 ∩ S_2 ∩ ... ∩ S_n | S_i ∈ S, n ∈ N} 是 τ 的一个基 

作用：‌ 子基是生成拓扑的最小要求 通过取子基元素的有限交得到基，再取基元素的任意并得到整个拓扑 τ 

例：‌ 在 R 的标准拓扑中，所有形如 (-∞, b) 和 (a, ∞) 的开射线构成一个子基（它们的有限交生成开区间基）

连续映射 (Continuous Mappings)：‌

拓扑定义 (Most important)：‌ 设 (X, τ_X) 和 (Y, τ_Y) 是两个拓扑空间。映射 f: X → Y 称为‌连续的‌，如果对于 Y 中的每一个开集 V（即 V ∈ τ_Y），它的 ‌原像‌ f^{-1}(V) = {x ∈ X | f(x) ∈ V} 是 X 中的开集（即 f^{-1}(V) ∈ τ_X）

邻域定义 (等价)：‌ 映射 f: X → Y 在点 x ∈ X 处‌连续‌，如果对于 f(x) 在 Y 中的任意邻域 V，存在 x 在 X 中的一个邻域 U，使得 f(U) ⊆ V 映射 f 是‌连续的‌当且仅当它在 X 的每一点都连续

闭集等价定义：‌ f: X → Y 是连续的当且仅当对于 Y 中的每一个闭集 F，它的原像 f^{-1}(F) 是 X 中的闭集

闭包等价定义：‌ f: X → Y 是连续的当且仅当对于 X 的任意子集 A，有 f(Cl(A)) ⊆ Cl(f(A)) （连续映射将闭包映到闭包内）

连续性意味着“邻近点映射后仍然邻近” 如果 x 靠近 x₀，那么 f(x) 靠近 f(x₀) 拓扑定义通过开集（描述“邻近性区域”）的“拉动”来刻画这一点

例：

常值映射总是连续的

任何映射从离散拓扑空间到任意拓扑空间都是连续的（因为定义域中任何集合的原像都是开集）

任何映射从任意拓扑空间到平凡拓扑空间都是连续的（因为值域中只有两个开集的原像：f^{-1}(∅) = ∅ 是开集，f^{-1}(Y) = X 也是开集）

在标准拓扑下，多项式函数 f: R → R 是连续的（需要证明，但符合微积分直觉）

同胚 (Homeomorphism)：‌

定义：‌ 设 (X, τ_X) 和 (Y, τ_Y) 是两个拓扑空间 一个双射（一一对应）映射 f: X → Y 称为一个‌同胚‌，如果 f 和它的逆映射 f^{-1}: Y → X 都是连续的

性质：‌

同胚 f 建立了空间 X 和 Y 之间点的一一对应

f 建立了它们的开集之间的一一对应：U ⊆ X 是开集当且仅当 f(U) ⊆ Y 是开集

意义：‌ 如果两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称它们是‌同胚的 (Homeomorphic)‌，记作 X ≈ Y 同胚的空间在所有拓扑性质上都是完全相同的（如连通性、紧致性等） 它们是拓扑学家眼中“一样的”空间

例：球面和立方体的表面是同胚的；一个咖啡杯和一个甜甜圈（环面）是同胚的（多有名的例子hhh）

Key points：‌ 同胚比连续双射更强 存在连续的双射但其逆不连续（例：恒等映射 id: (R, 离散拓扑) → (R, 标准拓扑) 是连续双射，但其逆 id: (R, 标准拓扑) → (R, 离散拓扑) 不连续，因为 {0} 在离散拓扑中是开集，但在标准拓扑中不是开集）这样的

拓扑空间的公理化结构与衍生概念

拓扑的等价定义体系开集公理（原始定义）：

如前所述，通过开集族τ满足三公理定义

邻域公理：直接定义每点的邻域系Ν(x)，要求满足：

包含性：∀x∈X, N∈Ν(x) ⇒ x∈N

扩张性：N∈Ν(x)且N⊆M ⇒ M∈Ν(x)

交封闭性：N₁,N₂∈Ν(x) ⇒ N₁∩N₂∈Ν(x)

内点存在性：∀N∈Ν(x), ∃U∈Ν(x)使U⊆N且∀y∈U,U∈Ν(y)

证明开集公理与邻域公理等价：

⇒方向：取开集U为满足∀x∈U, U∈Ν(x)的集合，验证τ满足开集三公理

⇐方向：定义Ν(x)={N⊆X | ∃U∈τ使x∈U⊆N}，验证满足邻域四公理

分离性公理（T₀到T₄）

T₁空间：任意两点存在各自邻域不包含对方

定理：X是T₁空间 ⇔ 单点集是闭集

证明：

设{a}闭，则∀b≠a, X{a}是b的开邻域不包含a 反之若T₁成立，∀x∈X, X{x}=∪_{y≠x}U_y（U_y为y的邻域不包含x），故为开集

紧致性理论的探讨

紧致空间的等价刻画

开覆盖定义：X的任意开覆盖有有限子覆盖有限交

性质：若闭集族{Fᵢ}满足任意有限交非空，则总交非空

证明等价性：开覆盖定义 ⇒ 有限交性质：若∩Fᵢ=∅，则{X\Fᵢ}为开覆盖，存在有限子覆盖⇒有限交为空，矛盾 

逆方向对偶证明类似 

重要定理：Tychonoff定理

陈述：任意紧致空间的笛卡尔积（赋予乘积拓扑）仍紧致

证明（只有要点哦）：

应用Alexander子基定理：若子基开覆盖有有限子覆盖，则空间紧致

对乘积空间∏Xᵢ的子基开集S=πᵢ⁻¹(Uᵢ)构造选择函数，利用Zorn引理证明极大网的存在

通过坐标有限性导出矛盾

连通性与道路连通性的区别

经典反例：拓扑学家的正弦曲线构造：X={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}∪{(0,y)|y∈[-1,1]}

性质证明：

连通：假设X=A∪B分离，若(0,0)∈A，则由于sin(1/x)在(0,δ)内稠密，A必须包含整个曲线

非道路连通：假设存在道路γ:[0,1]→X连接(0,0)与(1,sin1)，γ⁻¹({0}×[-1,1])为闭集，取t₀=supγ⁻¹({0}×[-1,1])，在t₀处连续性被破坏

商拓扑的严格构造

定义：

给定等价关系∼，商空间X/∼的拓扑为{U⊆X/∼ | π⁻¹(U)开}，π:X→X/∼为投影映射

性质：

商映射连续性：π自动连续泛性质：若f:X→Y满足x∼y⇒f(x)=f(y)，则存在唯一连续映射f̃:X/∼→Y使f=f̃∘π

应用实例：Möbius带作为[0,1]×[0,1]对(0,y)∼(1,1-y)的商空间

Urysohn引理与度量化定理

Urysohn引理：

T₄空间中任意不相交闭集A,B存在连续函数f:X→[0,1]使f|A=0, f|B=1

证明：（依然只有要点哈）

利用正规性递归构造开集{U_r}（r∈ℚ∩[0,1]）使A⊆U₀, U₁=X\B

定义f(x)=inf{r∈ℚ∩[0,1] | x∈U_r}

验证连续性：f⁻¹((a,b))=∪_{a<r<b}U_r\Cl(Uₐ)

Urysohn度量化定理：

第二可数T₃空间可度量化证明需构造嵌入Hilbert立方体的同胚

分离公理的层级结构与应用

T₃与T₃½空间的本质差异

T₃空间（正则空间）：任意点与闭集可用开集分离

反例：设X=ℝ，τ={∅}∪{A⊆ℝ | 0∈A且ℝ\A有限}，则(ℝ,τ)是T₂但不T₃（闭集{0}与点1无法分离）

Tychonoff空间（T₃½）：存在足够多的连续函数分离点与闭集

证明：通过单位区间嵌入，令Φ:X→[0,1]^C(X,[0,1])为评价映射，证明当X为T₃½时Φ是嵌入2

Urysohn度量化定理的完整证明

取可数基{Bₙ}，对不相交闭集A,B构造Uₙ=∪{B∈Bₙ | Cl(B)∩A=∅}, Vₙ=∪{B∈Bₙ | Cl(B)∩B=∅}则U=∪Uₙ与V=∪Vₙ为分离开集

设可数基{Bₙ}，对每对Bₙ,Bₖ满足Cl(Bₙ)⊆Bₖ，应用Urysohn引理得fₙₖ:X→[0,1]定义F(x)=(fₙₖ(x))∈[0,1]^ω，证明F是同胚

可数性公理的相互作用

Lindelöf性质与σ-局部有限基

定理：

第二可数⇒Lindelöf⇒可分，反之不成立

反例：

不可数离散空间是Lindelöf但不第二可数

Sorgenfrey直线可分但不Lindelöf

Bing-Nagata-Smirnov定理：

空间可度量化 ⇔ 存在σ-局部有限基

证明要点：

⇒方向：取开球{B(x,1/n) | x∈Dₙ}（Dₙ为1/n-网）

⇐方向：构造伪度量dₙ(x,y)=sup{|fₙₐ(x)-fₙₐ(y)|}并取d=Σ2⁻ⁿdₙ2

紧致化技术的比较

Alexandroff紧致化：对非紧致空间X添加∞点，定义开集为X中原开集或含∞且补集紧致的集合

性质：当X为局部紧致Hausdorff时，所得紧致化仍Hausdorff

Stone-Čech紧致化：通过连续函数族C₍(X)构造βX=Cl(eX)⊂[0,1]^C₍，其中e为评价映射

泛性质证明：对任意紧致Hausdorff空间Y和连续f:X→Y，存在唯一连续扩展βf:βX→Y

收敛理论进阶

网与滤子的等价性

网→滤子：对网(xᵃ)_{a∈A}，生成滤子基{Bₐ={xᵇ | b≥a}}

滤子→网：对滤子F，取有向集I={(x,F) | x∈F∈F}，定义网x_{(y,G)}=y

紧致性的滤子刻画定理：X紧致 ⇔ 每个极大滤子收敛

证明：

⇒方向：极大滤子具有有限交性质，故∩Cl(F)≠∅

⇐方向：若开覆盖无有限子覆盖，则其补集生成滤子基可扩张为不收敛的极大滤子 

继续补充，梦到啥写啥

Tietze扩张定理

陈述‌

设 X 是正规空间（满足 T4 分离公理），A 是 X 的闭子集，f : A → R 是有界连续函数（即 |f(a)| ≤ M 对所有 a∈A） 则存在连续函数 F : X → R 满足：

 F(a) = f(a) 对所有 a∈A

 |F(x)| ≤ M 对所有 x∈X

证明：

定义初始函数 f0 = f，初始界 M0 = M  递归构造两组序列：

闭集序列 Bₙ, Cₙ ⊆ A

连续函数序列 gₙ : A → R

连续函数序列 φₙ : X → R

对当前函数 fₙ : A → [-Mₙ, Mₙ]，定义闭集：

Bₙ = {a∈A | fₙ(a) ≤ -Mₙ/3}

Cₙ = {a∈A | fₙ(a) ≥ Mₙ/3}

（因 fₙ 连续，Bₙ 和 Cₙ 在 A 中闭；因 A 闭，在 X 中也闭）

应用Urysohn 引理（正规空间性质）

存在连续函数 φₙ : X → [-Mₙ/3, Mₙ/3] 满足：

φₙ(x) = -Mₙ/3 当 x∈Bₙ

φₙ(x) = Mₙ/3 当 x∈Cₙ

定义新函数 

gₙ = φₙ|ₐ （φₙ 在 A 上的限制）

fₙ₊₁ = fₙ - gₙ : A → R

|fₙ₊₁(a)| ≤ (2/3)Mₙ 对所有 a∈A

更新 Mₙ₊₁ = (2/3)Mₙ

定义部分和函数：

Sₙ(x) = φ₀(x) + φ₁(x) + ... + φₙ₋₁(x)

收敛性验证：

对任意 x∈X：

|φₖ(x)| ≤ (1/3)M(2/3)ᵏ

⇒ ∑|φₖ(x)| ≤ M ∑(1/3)(2/3)ᵏ = M

在 A 上：

f(a) - Sₙ(a) = fₙ(a) ⇒ |f(a) - Sₙ(a)| ≤ (2/3)ⁿM → 0

定义极限函数：

F(x) = lim Sₙ(x) = ∑ φₖ(x）

验证

连续性：由 Weierstrass M-判别法（|φₖ(x)| ≤ M(1/3)(2/3)ᵏ 且 ∑ 收敛），F 一致收敛故连续

边界条件：|F(x)| ≤ ∑ |φₖ(x)| ≤ M

扩张性：当 a∈A 时 F(a) = f(a)

Baire纲定理‌

‌陈述‌
在完备度量空间 (X,d) 或局部紧Hausdorff空间中，可数个稠密开集的交仍是稠密集：
若 {Uₙ} 是稠密开集列，则 ∩Uₙ 稠密

‌完备度量空间情形的证明‌‌

设 W ⊆ X 为任意非空开集 需证 W ∩ (∩Uₙ) ≠ ∅。

递归构造闭球序列 

初始球：取 x₀ ∈ W ∩ U₁（因 U₁ 稠密），存在闭球 B₀ = B[x₀, r₀] ⊆ W ∩ U

假设已构 Bₖ ⊆ Uₖ ∩ Bₖ₋₁ 且 diam(Bₖ) < 1/(k+1)

取 xₖ₊₁ ∈ Bₖ° ∩ Uₖ₊₁（可能因 Uₖ₊₁ 稠密）

取 δ > 0 使 B(xₖ₊₁, δ) ⊆ Bₖ° ∩ Uₖ₊₁

令 rₖ₊₁ < min(δ/2, 1/(k+2))

定义 Bₖ₊₁ = B[xₖ₊₁, rₖ₊₁] ⊆ Uₖ₊₁ ∩ Bₖ‌

序列 {xₙ} 是 Cauchy 列：
∀ε>0, 取 N > 1/ε, 当 m,n > N 时 xₘ, xₙ ∈ Bₙ ⇒ d(xₘ, xₙ) < diam(Bₙ) < 1/(N+1) < ε
由完备性，存在 x = lim xₙ
对任意 k，当 n > k 时 xₙ ∈ Bₖ ⇒ x ∈ Bₖ ⊆ Uₖ
 x ∈ B₀ ⊆ W ⇒ x ∈ W ∩ (∩Uₙ)

‌局部紧Hausdorff空间情形的证明‌‌

设 V₀ 是紧致邻域（由局部紧性）递归构造紧致集序列：

初始集：取 V₀ ∩ U₁ ≠ ∅（U₁ 稠密），存在紧致邻域 K₁ ⊆ V₀ ∩ U₁

假设已构紧致集 Kₙ ⊆ Uₙ ∩ Kₙ₋₁°

取 Kₙ° ∩ Uₙ₊₁ ≠ ∅（Uₙ₊₁ 稠密）

存在紧致邻域 Kₙ₊₁ ⊆ Kₙ° ∩ Uₙ₊₁‌

{Kₙ} 是递减非空紧致集列
有限交非空：任意有限交 ∩₁ᴺ Kₙ = K_N ≠ ∅
由紧致空间的有限交性质，∩Kₙ ≠ ∅
取 x ∈ ∩Kₙ ⊆ ∩Uₙ 且 x ∈ V₀ ⊆ W

‌经典应用‌

‌推论1（无处稠密集性质）‌
在 Baire 空间中：若 E = ∪Eₙ 且每 Eₙ 无处稠密，则 E 无内点

‌证明‌：
取开集 Vₙ = X \\ cl(Eₙ)（稠密开集）
由 Baire 定理 ∩Vₙ 稠密
∀x ∈ X, x ∈ ∩Vₙ ⇒ x ∉ ∪cl(Eₙ) ⊇ E

‌推论2（Banach空间性质）‌
无限维 Banach 空间不能有可数 Hamel 基

‌证明‌：
设 {eₙ} 是 Hamel 基，定义有限维子空间 Fₙ = span{e₁,...,eₙ}
每 Fₙ 闭（有限维子空间完备）
每 Fₙ 无处稠密（真闭子空间）
但 X = ∪Fₙ 与 Baire 定理矛盾‌

Tietze定理本质‌：

利用正规空间的分离能力，通过函数级数逐步逼近

Baire定理核心‌：

完备性 ⇒ "序列挤压" ⇒ 交点存在

局部紧致性 ⇒ "紧致嵌套" ⇒ 交点存在

‌反例‌：

非完备空间（如有理数集 Q）不满足 Baire 性质

注：参考一下维基

书籍推荐：

《点集拓扑讲义》‌

《基础拓扑学讲义》‌

James Munkres Topology (2nd ed.)‌ 

Stephen Willard General Topology‌  

Ryszard Engelking General Topology‌