物理 极简泛函分析
一个极简的讲泛函分析的帖子，手打无AI（用了AI会标注），嗯...不会LaTex致歉（鞠躬）我先挖个坑慢慢填~
帖主为蒟蒻中的蒟蒻，有错欢迎指正
赋范空间的完备性构造
范数诱导拓扑的严格构造
设𝕂为ℝ或ℂ，线性空间X上的范数‖·‖满足：
1. 正定性：‖x‖=0 ⇔ x=0
2. 齐次性：‖αx‖=|α|‖x‖ (∀α∈𝕂)
3. 三角不等式：‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖
定理1 Minkowski不等式
Minkowski 不等式 (Minkowski Inequality)
定理表述：对于测度空间(X, F, μ)，1 ≤ p < ∞，以及可测函数f, g: X → C，有： ( ∫|f + g|ᵖ dμ )¹/ᵖ ≤ ( ∫|f|ᵖ dμ )¹/ᵖ + ( ∫|g|ᵖ dμ )¹/ᵖ
证明：若左边为零，不等式显然成立
若右边有无穷大，不等式自动成立
故只需考虑0 < ‖f + g‖ₚ < ∞且‖f‖ₚ, ‖g‖ₚ < ∞的情况
三角不等式展开得
|f + g|ᵖ ≤ (|f| + |g|)ᵖ
设q满足
1/p + 1/q = 1（即q = p/(p-1)）
分解
(|f| + |g|)ᵖ = |f|(|f| + |g|)ᵖ⁻¹ + |g|(|f| + |g|)ᵖ⁻¹
Hölder不等式
∫|f|(|f| + |g|)ᵖ⁻¹dμ ≤ ‖f‖ₚ (∫(|f| + |g|)⁽ᵖ⁻¹⁾ᑫdμ)¹/ᑫ
同理有
∫|g|(|f| + |g|)ᵖ⁻¹dμ ≤ ‖g‖ₚ (∫(|f| + |g|)⁽ᵖ⁻¹⁾ᑫdμ)¹/ᑫ
因为 (p-1)q = p
所以
∫(|f| + |g|)ᵖdμ ≤ (‖f‖ₚ + ‖g‖ₚ)(∫(|f| + |g|)ᵖdμ)¹/ᑫ
令A = ∫(|f| + |g|)ᵖdμ，则 A ≤ (‖f‖ₚ + ‖g‖ₚ)A¹/ᑫ
因为1 - 1/q = 1/p，所以最终有 (∫(|f| + |g|)ᵖdμ)¹/ᵖ ≤ ‖f‖ₚ + ‖g‖ₚ
结合三角不等式即得结论
离散形式： 对于序列x, y ∈ ℓᵖ： (∑|xₖ + yₖ|ᵖ)¹/ᵖ ≤ (∑|xₖ|ᵖ)¹/ᵖ + (∑|yₖ|ᵖ)¹/ᵖ
等号成立条件： 当且仅当存在λ, η ≥ 0（不全为零）使得λf = ηg μ-a.e.
完备化过程的范畴论实现
给定度量空间（X，d），其完备化空间（$\hat{X}$，$\hat{d}$）的构造步骤如下：
定义柯西列集合：
令$\mathcal{C}(X)$为X中所有柯西列的集合，即$\mathcal{C}(X)$ = { (xₙ) | 当m, n趋于无穷大时，d(xₘ, xₙ)的极限为0 }。
引入等价关系：
对柯西列定义等价关系“~”：若两个柯西列（xₙ）和（yₙ）满足当n趋于无穷大时，d(xₙ, yₙ)的极限为0，则称（xₙ）等价于（yₙ），记为（xₙ）~（yₙ）。
构造商空间：
对柯西列集合$\mathcal{C}(X)$按上述等价关系取商空间，得到完备化空间的基础集合$\hat{X}$，即$\hat{X} = \mathcal{C}(X) / ~$（表示所有等价类的集合，每个等价类记为[xₙ]，其中（xₙ）是该类的代表元）。
定义度量$\hat{d}$：
对$\hat{X}$中的任意两个等价类[xₙ]和[yₙ]，定义度量$\hat{d}$为：$\hat{d}([xₙ], [yₙ])$ = 当n趋于无穷大时，d(xₙ, yₙ)的极限。
度量空间完备化定理
证明：
核心定理的证明
Hahn-Banach定理
范畴论在泛函分析中的补充内容
基本范畴概念的泛函分析实现
范畴的定义与实例
范畴C由两类对象构成：
对象类：泛函分析中典型对象如：
Ban：全体Banach空间及有界线性算子
Hilb：全体Hilbert空间及有界线性算子
Top：拓扑向量空间及连续线性映射
态射集：对象间保持结构的映射，如Ban中的有界线性算子T→Y，满足‖T‖<∞
态射性质：
同构：Ban中可逆算子（双射+有界逆），如有限维空间的基变换矩阵
单态射：单射算子（核为{0}），如嵌入映射i:ℓ¹→ℓ²
满态射：满射算子（值域稠密），如商映射π→X/M（M为闭子空间）
函子：范畴间的结构保持映射
协变函子F→D：
对象映射：F(X)∈D（如对偶函子*→Ban，X↦X*）
态射映射：F(T→Y)=T**→X*（伴随算子）
典型函子实例：
对偶函子：X*=B(X,𝕂)（有界线性泛函空间），满足(F∘G)=G∘F*
张量积函子：⊗×Ban→Ban，(X,Y)↦X⊗πY（投射张量积）
泛函分析中的范畴论核心定理
伴随函子定理（在Banach空间中的应用）
定理：若F→D为函子，且C中存在所有小极限，则F有右伴随G→C当且仅当F保持小极限
应用：
张量积函子X⊗-有右伴随Hom(X,-)，即对任意Y,Z，有自然同构：
Ban(X⊗Y,Z) ≅ Ban(Y,Hom(X,Z))
米田引理（表示论视角）
核心思想：对象X由其“态射函数”完全确定，即：
对范畴C中的对象X，定义函子h_X→Set，h_X(Y)=Hom(X,Y)
米田引理指出：h_X自然同构于h_Y当且仅当X≅Y
泛函分析实例：
Hilbert空间的自对偶性：h_H(Hom(H,K))≅K（Riesz表示定理的范畴化表述）
在泛函分析中，范畴由对象（如各类空间）和态射（如空间之间的映射）构成，需满足：
对象间存在态射集合（如连续线性算子集）
态射可复合且满足结合律
每个对象有恒等态射
Banach空间范畴（Ban）
对象：所有Banach空间（完备赋范线性空间）
态射：有界线性算子（范数有限的线性映射）
范畴性质：
乘积对象：有限个Banach空间的乘积空间（按∞-范数完备化）
余乘积对象：无限维直和的ℓ¹-范数完备化
等化子：设T,S→Y为态射，等化子是{x∈X|Tx=Sx}（闭子空间，构成Banach空间）
Hilbert空间范畴（Hilb）
对象：所有Hilbert空间（完备内积空间）
态射：有界线性算子（内积连续映射）
特殊结构：
自对偶性：每个对象X有对偶对象X*（共轭同构于X）
正交补：子对象Y⊂X的余对象Y⊥（满足Y⊕Y⊥=X）
张量积：对象X,Y的张量积X⊗Y仍是Hilbert空间，对应双线性映射的泛性质
C-代数范畴（CAlg）
对象：所有C*-代数（含对合的完备赋范代数）
态射：*-同态（保持对合的代数同态）
范畴特征：
核与余核：理想与商代数的范畴化描述
极限对象：AF代数（近似有限维C*-代数）作为有限维C*-代数的归纳极限
Gelfand-Naimark对偶：与紧Hausdorff空间范畴（对象为紧空间，态射为连续映射）的对偶等价
局部凸空间范畴（LCS）
对象：所有局部凸拓扑线性空间（由半范数族定义拓扑）
态射：连续线性映射
泛性质应用：
自由对象：集合S生成的自由局部凸空间（由S上所有有限线性组合构成，半范数族诱导拓扑）
归纳极限：广义函数空间𝓓(ℝⁿ)（测试函数空间）作为紧集上C^∞函数空间的归纳极限
算子代数范畴（vNAlg）
对象：冯·诺依曼代数（弱算子拓扑闭的C*-代数）
态射：正规*-同态（σ-弱连续的*-同态）
范畴等价：与“对合W*-代数”范畴等价，体现量子力学中可观测量代数的对称性
我记得有参考Mac Lane《Categories for the Working Mathematician》
Schaefer《Topological Vector Spaces》echer《Operator Algebras and Their Modules》
Weibel《An Introduction to Homological Algebra》等等 这里还有一点点AI...
梦到什么写什么，不知道写了个什么.....