物理 [TINY NSD]实数集有多少个？（三）
第二节 整数
在开始拓展数集之前，我们先多定义一些关系：
${定义b \geq a，若a \leq b}$；
定义${b \lt a}$，若${b \leq a且b \neq a}$；
定义${b \gt a}$，若${a \lt b}$。
相关的一些性质不多推导，利用${\leq}$的性质很容易得出。
说回正题。
为什么要拓展数集？因为我们发现，自然数集并不是特别完美。
例如，只有当${a \leq b}$时，我们才能定义${b-a}$；
只有当${a | b}$时，我们才能定义${\frac{b}{a}}$。
怎么办呢？先从减法看起。
减法总是需要两个数，减数和被减数。所以我们定义这样的数对${(a, b)}$，其中${a, b \in \mathbb{N}}$。
这样的数对构成的集合称为${\mathbb{N}^2}$。
对于${(a, b), (c, d) \in \mathbb{N}^2，我们定义(a, b)\sim (c, d), 若a+d=b+c}$。
这很容易理解。如果${a-b}$和${c-d}$都有意义的话，那么${a-b=c-d}$就等价于${a+d=b+c}$。
下面我们证明$\sim$是一种等价关系，满足三个条件：
①${\forall (a, b) \in \mathbb{N}^2，(a, b)\sim (a, b)}$；
②${\forall (a, b), (c, d)，若(a, b) \sim (c, d)，则(c, d) \sim (a, b)}$；
③${\forall (a, b), (c, d), (e, f)，若(a, b)\sim (c, d), (c, d) \sim (e, f), 则(a, b) \sim (e, f)}$。
证明：①${a+b=b+a}$，即证；
②由条件，${a+d=b+c}$，从而${c+b=d+a}$，也证；
③由${a+d=b+c, c+f=d+e, 得(a+f)+(c+d)=(a+d)+(c+f)=(b+c)+(d+e)=(b+e)+(c+d)}$。
消去律得${a+f=b+e}$，即证。
从而，我们可以作如下的定义：
定义$S$是一个等价类，若${S \in \mathbb{N}^2}$满足${\forall (a, b) \in S, (a, b) \sim (c, d)}$当且仅当${(c, d) \in S}$。
下面证明：${\mathbb{N}^2}$的每个元素恰属于一个等价类。
证明：存在性：${\forall (a, b) \in \mathbb{N}^2}$，令${S=\lbrace (c, d) | (a, b) \sim (c, d) \rbrace}$，
则${\forall (c_1, d_1), (c_2, d_2) \in S}$，有${(a,b) \sim (c_1, d_1), (a, b) \sim (c_2, d_2)}$，
从而${(c_1, d_1) \sim (a, b), 有(c_1, d_1) \sim(c_2, d_2)}$。
又若${(c, d) \in S, (e, f) \in \mathbb{N}^2, (c, d) \sim (e, f)}$，
则由${(a, b) \sim (c, d)}$，有${(a, b) \sim (e,f)}$，即${(e, f) \in S}$。
由定义，这样的$S$是一个等价类，从而证明了存在性。
唯一性：假设${S_a, S_b}$是两个不等的等价类，且${(a, b) \in S_a \capS_b}$。
则${\forall (c, d) \in S_a, (a, b) \sim (c, d)}$，从而${(c, d) \in S_b}$。
于是有${S_a \subseteq S_b}$，同理${S_b \subseteq S_a}$，得${S_a=S_b}$，矛盾！
故这样的等价类是唯一的。证毕。
现在我们看回到自然数。对于每个自然数$n$，我们可以找到一个集合${S_n=\lbrace (a+n, a) | a \in\mathbb{N} \rbrace}$与之对应，我们记作${S_n \to n}$。
下面我们证明：${S_n}$是一个等价类。
对${(a_1+n, a_1), (a_2+n, a_2) \in S_n，(a_1+n)+a_2=a_1+(a_2+n)}$，故${(a_1+n, a_1) \sim (a_2+n, a_2)}$；
若${(c, d) \in \mathbb{N}^2满足(a+n, a) \sim (c,d)}$，则${a+(n+d)=(a+n)+d=a+c}$，
由消去律，${d+n=n+d=c}$。从而${(c, d)=(d+n, d) \in S_n}$。
由等价类的定义，得${S_n}$是一个等价类。证毕。
由此，我们可以得到，若${b \leq a, 则(a, b) \in S_{a-b}}$。
但如果${b \leq a}$不成立，那么${(a, b)}$就无法划到上述等价类中。
当然，${b \leq a}$不成立即意味着${a \leq b且a \neq b}$，即${a \lt b}$。
所以我们将其转化为${(b, a)}$进行考虑。
定义${S_{-n}=\lbrace (a, b) | (b, a) \in S_n \rbrace，S_{-n} \to -n}$。
这样我们就覆盖了所有情况。
同时需要注意到，${S_{-0}=S_0}$，即${0=-0}$。除此之外，${-1, -2, \cdots}$均不是自然数，我们称其为负整数。
负整数和自然数（含$0$）合称整数。
当然，由于这样对整数的定义基于对等价类的讨论，所以在讨论运算和序的时候，也要跟等价类挂钩。