物理 牛顿/莱布尼茨公式证明？
我们在小学2年级(划掉)就学过微积分了，简单介绍一下，微积分分为微分和积分，大家小学一定知道经典的化圆为方，把圆不断分，让每一分都无限趋向于三角形，最后拼接在一起。这个就是微积分😀😀😀
于是乎就有了这个公式$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $
那么，怎么证明这个公式是成立的呢🤓☝️
法1:
令：$G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$
$ G $ 是 $ f $ 的一个原函数，即：$G'(x) = f(x)$
又已知 $ F $ 也是 $ f $ 的一个原函数，即：$F'(x) = f(x)$
所以：$F'(x) = G'(x) \quad \text{在 } [a,b] \text{ 上}$
若 $ F'(x) = G'(x) $ 对所有 $ x \in (a,b) $ 成立，则存在常数 $ C $，使得
$F(x) - G(x) = C \quad \forall x \in [a,b]$
所以$F(x) = G(x) + C$
取 $ x = a $，则：$F(a) = G(a) + C$
但注意：$G(a) = \int_a^a f(t)\,dt = 0$
所以：$F(a) = 0 + C \Rightarrow C = F(a)$
于是：$F(x) = G(x) + F(a)\Rightarrow G(x) = F(x) - F(a)$
代入 $ x = b $
$G(b) = \int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)$
即：$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
真是amazing啊！微积分的公式也可以得证了
那么这时有的同学就要问了🤓☝️:主播主播，你的法1的确很好用，但就是不知道为什么$G'(x) = f(x)$，有没有方法证明一下？
有的兄弟包有的！😋
设：$G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$
考虑差商：$\frac{G(x+h) - G(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\,dt$
由积分中值定理，存在 $ c \in [x, x+h] $，使得：
$\frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c)$
当 $ h \to 0 $，有 $ c \to x $，又因 $ f $ 连续，$ f(c) \to f(x) $
所以：$\lim_{h \to 0} \frac{G(x+h) - G(x)}{h} = f(x)\Rightarrow G'(x) = f(x)$
简简单单证毕✋😁✋
如果有别的想法欢迎提出！
共4条回复
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ETHz
15小时前
$我想数学还是一个严谨的学科吧？希望帖主能看看我这个废物发现的不妥之处，并由衷的希望您再复习一遍数学分析$
$并无恶意，感谢理解，若有措辞不当，请谅解，本人语言表达可能会有让人不舒服之处，请多多包涵，谢谢$
$您试图通过两个方法（法1与法2）推导牛顿-莱布尼茨公式：$
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a),$
$其中F是f的一个原函数。$
$然而，该推导过程中存在多处逻辑错误、前提缺失、定理误用及循环论证，严重违背了数学证明的基本原则。$
$法1：循环论证与前提未证$
$设G(x) = \int_a^x f(t)\,dt，并声称G'(x) = f(x)，进而断言G是f的一个原函数。$
$此结论G'(x) = f(x)并非自明，而是微积分基本定理第一部分的内容，其成立依赖于f在区间[a,b]上连续，并需借助积分中值定理和极限定义加以证明。$
$构成典型的循环论证……$
$由F'(x) = f(x)和G'(x) = f(x)推出F(x) = G(x) + C，这基于导数相等则函数差为常数的结论。$
$该结论成立的前提是：F与G在闭区间上可导，且导数在开区间内恒等。$
$若未证明G'(x) = f(x)，则无法建立F' = G'的关系。$
$所以，法1无效，其推理建立在未经证明的假设之上。$
$法2尝试证明G'(x) = f(x)，即：$
$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(x)$
$积分中值定理要求被积函数f在闭区间[x,x+h]上连续，才能保证存在c \in [x,x+h]使得：$
$\frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) dt = f(c)$
$但原文中未声明f的连续性，亦未说明该条件是否成立。因此，该步骤在一般情况下不成立。$
$虽然有h \to 0 \Rightarrow c \to x，但要使f(c) \to f(x)，必须要求f在x处连续。$
$由于f的连续性未被假设，故不能保证f(c) \to f(x)，从而无法推出极限为f(x)。$
$当x = a或x = b时，差商仅能从一侧趋近，此时导数定义涉及单侧导数。$
$但您未讨论边界点的可导性，导致结论在端点处不完整。$
$G(x) = \int_a^x f(t)\,dt的定义要求f在[a,b]上黎曼可积。$
$若f不连续甚至不可积，则G(x)可能不可导。$
$“化圆为方”仅为极限思想的直观类比，不能等同于微积分本身，这是一种历史类比的误用。$
$虽然阿基米德等人曾使用穷竭法逼近面积，但这属于前微积分时代的方法，并非现代微积分的定义。$
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