物理

Jensen不等式与组合数：对Jensen不等式的再次探索与推广

$(注：\sum表示轮换求和，\sum_{sym}表示对称求和，for example$

$对于四个变量a，b，c，d，\sum{ab}=ab+bc+cd+da，\sum_{sym}ab=ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

首先，对于熟知的Jensen不等式：

$设f(x)在区间D下凸，n∈\mathbb{N}^{*}，则∀x_i∈D,\lambda_i∈\mathbb{R}_{+},i=1,2,{\cdots},n,且\sum_{i=1}^n\lambda_i=1,有$

$\sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i){\ge}f(\sum_{i=1}^n{\lambda_ix_i})$

$等号成立的充要条件是x_1=x_2={\cdots}=x_n$

这是Jensen不等式的加权形式，如果在上述不等式中取$\lambda_1=\lambda_2={\cdots}=\lambda_n=\frac{1}{n}$

就是我们常见的Jensen不等式：

$\frac{\sum_{i=1}^nf(x_i)}{n}{\ge}f(\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n})$

(注意，若f(x)为上凸函数，则不等号反向)

不过，以上都是对所有的$x_i$使用Jensen不等式，如果只是部分使用会如何呢？

首先从简单的三元情况开始：(如果无特殊说明，以下f(x)均为在R上的下凸函数)

$联想到不等式a^2+b^2+c^2{\ge}ab+bc+ca,猜测有$

$f(a)+f(b)+f(c){\ge}f(\frac{a+b}{2})+f(\frac{b+c}{2})+f(\frac{c+a}{2})$

事实上，由Jensen不等式得

$\frac{f(a)+f(b)}{2}{\ge}f(\frac{a+b}{2}),\frac{f(b)+f(c)}{2}{\ge}f(\frac{b+c}{2}),\frac{f(c)+f(a)}{2}{\ge}f(\frac{c+a}{2})$

三式相加即得原不等式

而且根据Jensen不等式，右侧${\ge}3f(\frac{a+b+c}{3})$,连在一起后,左右两端正好是Jensen不等式的三元形式。

$interesting$！接着尝试四元的情形：

$3(f(a)+f(b)+f(c)+f(d))=\sum_{sym}(f(a)+f(b)){\ge}2\sum_{sym}f(\frac{a+b}{2})$

$=\sum(f(\frac{a+b}{2})+f(\frac{b+c}{2})+f(\frac{c+a}{2}){\ge}3\sum(f(\frac{a+b+c}{3}))$

${\ge}12f(\frac{a+b+c+d}{4})$

似乎没什么规律？就在此时，拉马努金突然附体！(bushi)，注意到上式即为

$\frac{f(a)+f(b)+f(c)+f(d)}{\binom{4}{1}}{\ge}\frac{\sum_{sym}f(\frac{a+b}{2})}{\binom{4}{2}}$

${\ge}\frac{\sum_{sym}f(\frac{a+b+c}{3})}{\binom{4}{3}}{\ge}\frac{f(\frac{a+b+c+d}{4})}{\binom{4}{4}}$

同样地，上面三元的情形可以写为

$\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{\binom{3}{1}}{\ge}\frac{f(\frac{a+b}{2})+f(\frac{b+c}{2})+f(\frac{c+a}{2})}{\binom{3}{2}}$

${\ge}\frac{f(\frac{a+b+c}{3})}{\binom{3}{3}}$

真是Amazing啊(bushi)，所以由此可以推广到n元形式：

$设x_1,x_2,{\cdots},x_n∈\mathbb{R},记$

$J^m_n=\frac{\sum_{1{\le}i_1{\lt}i_2{\lt}{\cdots}{\lt}i_m{\le}n}f(\frac{\sum_{j=1}^{m}x_{i_j}}{m})}{\binom{n}{m}}$

$则∀n∈\mathbb{N}^{*},均有以下不等式成立$：

$J^1_n{\ge}J^2_n{\ge}{\cdots}{\ge}J^n_n,取等条件为x_1=x_1={\cdots}=x_n$

特别地，Jensen不等式即为$J^1_n{\ge}J^n_n$

这个不等式的大概证明思路是这样的：(证明过程懒的写了+空太小了写不下(doge))

显然只需证明$J^p_n{\ge}J^{p+1}_n$

类比上面三元和四元形式，我们在p元形式中，对于每(p+1)个f()应用(p+1)元的Jensen不等式，正好凑成右式，

其中$\binom{n}{p}和\binom{n}{p+1}$可以通过对于上面(p+1)个f()计数得到

由于不知道这个不等式叫什么名字，所以我给它起了个名字：

Jensen———Maclaurin不等式🤓😅，因为它和Maclaurin不等式极其相近：

$设正实数a_1,a_2,{\cdots},记$

$A_k=\sqrt[k]{\frac{\sum_{1{\le}i_1{\lt}i_2{\lt}{\cdots}{\lt}i_k{\le}n}\prod_{j=1}^ka_{i_j}}{\binom{n}{k}}},k=1,2,{\cdots},n,则$

$A_1{\ge}A_2{\ge}{\cdots}{\ge}A_n$