物理

一份简单的试题

实变函数论考题(80分)

一、选择题（每题3分，共15分）

 1. 下列集合中，不是可数集的是（  ）

A. 整数集  B. 有理数集  C. 实数集  D. 自然数集的幂集

2. 设$E⊆\mathbb{R}^n$，则$E$的内点一定是（  ）

A. 聚点  B. 边界点  C. 孤立点  D. 外点

3. 若函数$f(x)$在$[a,b]$上$\text{Riemann}$可积，则$f(x)$在$[a,b]$上（  ）

A. 连续  B. 有界  C. 几乎处处连续  D. 单调

4. 设$m(E)=0$，则下列说法正确的是（  ）

A. $E$一定是空集  B. $E$的任何子集测度都为$0$

C. $E$是闭集  D.$ E$是开集

5. 若$\{f_n(x)\}$在E上几乎处处收敛于$f(x)$，则（  ）

A. $\{f_n(x)\}$在E上依测度收敛于$f(x)$

B. $\{f_n(x)\}$在E上一致收敛于$f(x)$

C. 存在子列$\{f_{n_k}(x)\}$在$E$上几乎处处收敛于$f(x)$

D. 存在子列$\{f_{n_k}(x)\}$在E上一致收敛于$f(x)$

 二、填空题（每题3分，共15分）

 1. 设$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，则$A\setminus B =\_\_\_\_\_\_$。

2. 若$E$是$\mathbb{R}^n$中的有界闭集，则$E$是$\_\_\_\_\_\_$集（填“紧”或“非紧”）。

3. 设$f(x)$是$E$上的可测函数，$g(x)=f(x)$几乎处处成立，则$g(x)$在$E$上______（填“可测”或“不可测”）。

4. 设$m(E)\lt +\infty$，$\{f_n(x)\}$在$E$上依测度收敛于$f(x)$，且$f_n(x) \leq g(x)$几乎处处成立，$g(x)$在$E$上可积，则$\lim_{n \to \infty}\int_E f_n(x)dx =\_\_\_\_\_\_$。

5. 设$f(x)$在$[a,b]$上$\text{Lebesgue}$可积，则对任意$\epsilon\gt0$，存在连续函数$g(x)$，使得$\int_{[a,b]}|f(x)-g(x)|dx \lt\_\_\_\_\_\_$。

三、判断题（每题2分，共10分）

 1. 任意多个开集的交集仍是开集。（  ）

2. 若$m(E)=0$，则$E$中的所有点都是孤立点。（  ）

3. 可测函数一定是有界函数。（  ）

4. 若$f(x)$在$E$上$\text{Lebesgue}$可积，则$|f(x)|$在$E$上也$\text{Lebesgue}$可积。（  ）

5. 若$\{f_n(x)\}$在E上一致收敛于$f(x)$，则$\{f_n(x)\}$在$E$上依测度收敛于$f(x)$。（  ）

四、简答题（每题5分，共10分）

 1. 简述可数集和不可数集的定义，并举例说明。

2. 说明$\text{Lebesgue}$测度和$\text{Jordan}$测度的主要区别。

五、计算题（每题10分，共20分）

 1. 计算$\text{Lebesgue}$积分$\int_{[0,1]}x^2dx$。

2. 设$E=[0,1]$，$f_n(x)=nxe^{-nx^2}$，计算$\lim_{n \to \infty}\int_E f_n(x)dx$。

六、证明题（10分）

 证明：若$f(x)$在$E$上$Lebesgue$可积，则对任意$\epsilon\gt0$，存在$\delta\gt0$，$m(A)\lt\delta$（$A \subseteq E$且$A$可测）时，有$\int_A |f(x)|dx\lt\epsilon$。

总体比较简单，一部分是我出的，一部分是拿豆包凑数的🙃

温馨提示：第一题不止是单选哦