物理

洛！洛！什么是洛必达法则？

注：本帖涉及到极限与导数，使用人群为初中以上

如果你不会导数，去看我的另一个帖子(以更完)

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正文部分：

我们从小就知道：**任何数除以 0 都没意义**，但 $ \frac{0}{0} $ 更奇怪，因为它既可能是 0，也可能是无穷大，甚至可能是某个有限值。

例如：

- $ \frac{x}{x} = 1 $，当 $ x \to 0 $，还是 1

- $ \frac{x^2}{x} = x \to 0 $

- $ \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to \infty $

所以，$ \frac{0}{0} $ 不是一个确定的数，而是一个不确定形式（Indeterminate Form）。

但我们关心的是：当 $ x $ 趋近于某个值时，这个比值趋近于什么？

这就引出了极限的概念。

洛必达法则是什么？

严谨表述：

设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 满足以下条件：

1. 在点 $ a $ 的某个去心邻域内可导；

2. $ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $，且 $ \lim_{x \to a} g(x) = 0 $；  

   （即 $ \frac{0}{0} $ 型）

3. $ g'(x) \neq 0 $ 在该邻域内（分母导数不为零）；

4. 极限 $ \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $ 存在（或为无穷大）。

则有：$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

同样适用于 $ \frac{\infty}{\infty} $ 型。

几何视角：切线斜率决定比值趋势

考虑函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在 $ x \to a $ 时都趋近于 0。

我们可以把它们看作两条曲线，在 $ x=a $ 处相交于原点（比如 $ f(a)=g(a)=0 $）。

此时，比值 $ \frac{f(x)}{g(x)} $ 实际上是在比较这两条曲线在靠近 $ a $ 点时的“相对陡峭程度”。

- 如果 $ f(x) $ 比 $ g(x) $ 更快地接近 0，说明 $ f(x) $ 的变化率更小 → $ f'(a) < g'(a) $

- 所以 $ \frac{f(x)}{g(x)} \to \frac{f'(a)}{g'(a)} $

换句话说，当两个函数都趋于 0 时，它们的比值极限等于它们导数的比值极限。

那么，有些同学就要问了

主播主播，你的几何证明的确好用，但就是太吃想象力了，有没有既好用又不用动脑子的方法推荐一下？

有的兄弟包有的！柯西中值定理帮你完美解决

柯西中值定理

 设 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在 $ [a,b] $ 上连续，在 $ (a,b) $ 内可导，且 $ g'(x) \neq 0 $，则存在 $ c \in (a,b) $，使得：

$ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

现在我们令 $ a \to x_0 $，并取极限，就可以得到：

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Amazing啊，大名鼎鼎的洛必达也被简单证明了！

具体如下:

令 $ x \to a^+ $ 或 $ x \to a^- $，考虑区间 $ (a, b) $ 或 $ (c, a) $，对任意 $ x \ne a $，由柯西中值定理，存在 $ c_x $ 介于 $ a $ 与 $ x $ 之间，使得：

$\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}.$，由于 $ f(a) = g(a) = 0 $，得：$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}.$

当 $ x \to a $ 时，$ c_x \to a $，故：$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} = \lim_{c \to a} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$

证毕。