物理

[论坛资料室]Mathematics杂谈系列第一弹

先放题目：

给定正整数$P$和正整数组$x_1,x_2,x_3,…,x_n\neq P$，满足

$$E(x_1,x_2,x_3,…,x_n)=P$$

的$n$元整系数多项式函数$E(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,…,\alpha_n)$存在的充要条件是什么？

不难看出这个题目等价于下面这个问题：

给定一个正整数$P$以及正整数组$x_1,x_2,x_3,…,x_n\neq P$，$x_1,x_2,x_3,…,x_n$只由加，减以及乘法就能表示$P$的充要条件是什么？

这一点读者可以自行证明，这里不再演示。

我们注意到整系数多项式$E$的常数项一定为零。因此$E$属于函数类

$$S=\{f\in\mathbb{Z}[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,…,\alpha_n]\mid f(0,0,…,0)=0\}$$

同时我们注意到，$E$可以写成：

$$E=C_1\alpha_1+C_2\alpha_2+C_3\alpha_3+…+C_n\alpha_n+\text{Higher-order term}$$

令$t=\gcd(x_1,x_2,x_3,…,x_n)$，$x_i=t\lambda_i$，则不难得到

$$E(x_1,x_2,x_3,…,x_n)=E(t\lambda_1,t\lambda_2,t\lambda_3,…,t\lambda_n)=P$$

$$\gcd(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,…,\lambda_n)=1$$