物理

还有入不会导数？来看看吧

本片内容使用人群:初中即可

感谢@麦小鼠的提醒

一.基本导数

1.1导数的定义

设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某个邻域内有定义，若极限$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$存在，则称该极限为函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的**导数**，记作：$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta h) - f(x_0)}{h}$其中 $ h = \Delta x $。也可以用差商形式表示为：$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

若函数在区间 $ I $ 内每一点都可导，则称 $ f(x) $ 在 $ I $ 上可导，其导函数记为 $ f'(x) $ 或 $ \frac{df}{dx} $。

如何理解此定义呢？

• 从几何意义来看，导数 $ f'(x_0) $ 表示函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的切线斜率。分为一些三种情况:

若 $ f'(x_0) $>0，函数在该点递增；

若 $ f'(x_0) $<0，函数在该点递减；

若 $ f'(x_0) = 0 $，可能为极值点或拐点。

(切线方程为：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$)

• 从物理学角度来看，这里可以理解为物体的加速运动，位移对时间的导数是速度：$ v(t) = s'(t) $速度对时间的导数是加速度：$ a(t) = v'(t) = s''(t)$

(我的物理太菜了只会这么多)

1.2常见函数导数

| $ c $（常数） | $ 0 $ |

| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |

| $ \sin x $ | $ \cos x $ |

| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |

| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |

| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |

| $ e^x $ | $ e^x $ |

| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |

| $ \sqrt{x} $ | $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ |

1.3导数运算法

设 $ u(x), v(x) $ 可导，则：

- 和差法则：$ (u \pm v)' = u' \pm v' $

- 积法则：$ (uv)' = u'v + uv' $

- 商法则：$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $，$ v \ne 0 $

2. 链式法则（复合函数求导）

若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

即：$ y' = f'(u) \cdot g'(x) $

2.1高阶导数

导函数的导数称为**二阶导数**，记作 $ f''(x) $ 或 $ \frac{d^2f}{dx^2} $。

更高阶导数依次类推。

 物理意义：

$ f''(x) $ 表示加速度（当 $ f(x) $ 为位移时）判断凹凸性与拐点