物理

【广义相对论速成版】2. Einstein引力场方程 2.7 广义相对论中的坐标条件

Einstein引力场方程

$$R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R=\frac{8 \pi G}{c^{4}} T_{\mu \nu}$$

共有十个方程，$g_{\mu\nu}$有十个分量，似乎由Einstein引力场($g_{\mu\nu}$的偏微分方程)可以完全解出十个$g_{\mu\nu}$，事实上不是这样，由于存在四个恒等式

$$\nabla_{\mu}\left(R^{\mu \nu}-\frac{1}{2} g^{\mu \nu} R\right)=0, \quad \mu, \nu=0,1,2,3$$

故决定十个$g_{\mu\nu}$的方程仅有六个方程是对立的，还需引入四个附加条件，这就是说附加四个关于$g_{\mu\nu}$的条件，再加上六个独立的Einstein引力场方程就形成完备的方程组，使其具有唯一的$g_{\mu\nu}$解。一般附加条件不应是广义协变的。这四个附加条件条件实际上是对坐标选择的任意性施加了某种限制。故四个附加条件在广义相对论中称为坐标条件(即没有坐标的任意性了)，也叫规范条件。坐标条件可有两种形式。

(1) 选择坐标条件的形式为

$$f_{\sigma}\left(g^{\mu \nu}, \partial_{\lambda} g^{\mu \nu}\right)=0, \quad \sigma=1,2,3,4$$

(2) 简单给定十个$g_{\mu\nu}$中四个度规的具体形式。

前苏联物理学家Fock提出以

$$\partial_{\mu}\left(\sqrt{-g} g^{\mu \nu}\right)=0 \quad \nu=0,1,2,3$$

为坐标条件，称为谐和坐标条件，并认为对惯性系此坐标条件是唯一的。

段一士在1962年证明了Fock谐和坐标条件是惯性系条件，但不是唯一的，解决了Landau和Fock过去长期的争论。