物理

傅里叶变换与拉普拉斯变换(下)

本篇仅给出公式，大部分都会证明(有时间就证🌚

直入正题

1、$\mathcal{F}\{e^{-βt}(t\gt 0，β\gt 0)\}=∫^∞_0e^{-βt}e^{-iωt}dt=∫^∞_0e^{-(β+iω)t}dt=\frac{-1}{β+iω}e^{-(β+iω)t}|^∞_0$

因为$β\gt 0$，所以$-(β+iω)t→0$，即$\mathcal{F}\{e^{-βt}(t\gt 0，β\gt 0)\}=-\frac{1}{β+iω}$

2、$\mathcal{F}\{δ(t)\}=1$，冲激函数$δ(t)$的定义为：设$\mathcal{D}$为测试函数集合，$δ$是$\mathcal{D}$上的线性连续泛函，满足对任意$f(t)∈\mathcal{D}$，有$〈δ,f〉=∫^∞_{-∞}δ(t)f(t)dt=f(0)$

因此套用傅里叶变换的公式即可得到$\mathcal{F}\{δ(t)\}=e^{-iω·0}=1$

3、$\mathcal{F}\{1\}=2πδ(ω)$，我们从傅里叶逆变换出发：$\mathcal{F}^{-1}\{2πδ(ω)\}=\frac{1}{2π}·∫^∞_{-∞}2πδ(t)e^{iωt}dt=e^{iω·0}=1$

由此可得$\mathcal{F}\{1\}=2πδ(ω)$

(再更一点🙃

4、$\mathcal{F}\{E(|t|≤τ)\}=\frac{2E}{ω}\sin{τω}$，这里的$E(|t|≤τ)$是理想矩形脉冲信号，函数图像大概是在$[-τ,τ]$上是一条高度为$E$的水平直线，在$t\lt -τ,t\gt τ$区间与$t$轴重合

套入傅里叶变换公式：$∫^τ_{-τ}Ee^{-iωt}dt=E·\frac{e^{-iωτ}-e^{iωτ}}{-iω}$，分母的负号消了，结合欧拉公式可得$\mathcal{F}\{E(|t|≤τ)\}=\frac{2E}{ω}\sin{τω}$

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