物理

[TINY NSD]实数集有多少个？（只含公式，无证明）

虽然里面大部分内容跟某小学生发的帖子内容看起来差不多，但这只是主帖的一个索引，在主帖内都有证明，要是这也算低龄的话那我就没办法了，实在不行就把这个搬出去（但主帖是不可能搬走的）

第一节 自然数

1）冯·诺伊曼对自然数的定义：

①${\varnothing \in \mathbb{N}}$；

②${若a \in \mathbb{N}，则a \cup \lbrace a \rbrace \in \mathbb{N}}$；

③${若a \in \mathbb{N}，则\exists b \in \mathbb{N}, a=b \cup \lbrace b \rbrace}$。

2）佩亚诺对自然数的定义：

①${0 \in \mathbb{N}}$；

②${若k \in \mathbb{N}，则S(k) \in \mathbb{N}}$；

③${\forall k \in \mathbb{N}，S(k) \neq 0}$；

④${若S(a)=S(b)，则a=b}$；

⑤${若S \subseteq \mathbb{N}满足0 \in S，且若k \in S，总有S(k) \in S，则S=\mathbb{N}}$。

3）加法的定义：

①${\forall m \in \mathbb{N}，m+0=m}$；

②${\forall a, b \in \mathbb{N}，a+S(b)=S(a+b)}$。

4）加法结合律：

${\forall a, b, c \in \mathbb{N}, (a+b)+c=a+(b+c)}$。

5）加法交换律：

${\forall a, b \in \mathbb{N}, a+b=b+a}$。

6）加法消去律：

${若a, b, c \in \mathbb{N}，则a+c=b+c当且仅当a=b}$。

7）序和减法的定义：
${若\exists k \in \mathbb{N}使得a+k=b，则a \leq b，记k=b-a}$。

8）良序关系的特点：

①${若a \leq b且b \leq a，则a=b}$；

②${若a \leq b且b \leq c，则a \leq c}$；

③${\forall a, b \in \mathbb{N}，要么a \leq b，要么b \leq a}$；

④${\forall S \subseteq \mathbb{N}且S \neq \varnothing, \exists a \in S, \forall b \in S, a \leq b}$。

9）不等式的性质1：

${a+c \leq b+c当且仅当a \leq b}$。

10）三个重要的推论：

①${若a \leq b, 则a \leq S(b)}$；

②${若a \leq b且a \neq b, 则S(a) \leq b}$。

③${若a+b \leq c, 则a \leq c且b \leq c}$。

11）数学归纳法：

①${对一列命题P(n), 若P(0)为真，且当P(k)为真时P(S(k))为真，那么\forall n \in \mathbb{N}，P(n)为真}$。

②${对一列命题P(n), 若P(0)为真，且当\forall t \leq k, P(t)为真时P(S(k))为真，那么\forall n \in \mathbb{N}，P(n)为真}$。

12）减法的基本结论：

①${(a+b)-a=b，特别地，a-a=0}$；

②${(a-b)+b=a，特别地，a-0=a}$。

13）一般的加减混合运算：

①${若c \leq b, 则a+(b-c)=(a+b)-c}$；

②${若b+c \leq a, 则a-(b+c)=(a-b)-c}$；

③${若c \leq b \leq a, 则a-(b-c)=(a-b)+c}$。

14）差不变：

①${若b \leq a，则(a+c)-(b+c)=a-b}$；

②${若c \leq b \leq a，则(a-c)-(b-c)=a-b}$。

15）重要结论：

${\forall n \in \mathbb{N}且n \neq 0，\exists k \in \mathbb{N}, n=S(k)}$。

16）乘法的定义：

①${\forall n \in \mathbb{N}, n \times 0=0}$；

②${\forall a, b \in \mathbb{N}, a \times S(b)=a \times b+a}$。

17）乘法分配律（右）：

①${\forall a, b, c \in \mathbb{N}，a \times (b+c)=a \times b+a \times c}$；

②${\forall a, b, c \in \mathbb{N}且c \le b，a \times (b-c)=a \times b-a \times c}$。

18）乘法结合律：

${\forall a, b, c \in \mathbb{N}, a \times (b \times c)=(a \times b) \times c}$。

19）乘法交换律：
${\forall a, b \in \mathbb{N}, a \times b=b \times a}$。

20）乘法消去律：

${若a \neq 0，则a \times b=a \times c当且仅当b=c}$。

21）不等式的性质2：

①${若b \leq c, 则a \times b \leq a \times c}$；

②${若a \times b \leq a \times c且a \neq 0，则b \leq c}$。

22）整除与除法的定义：

${对a, b \in \mathbb{N}且a \neq 0，若\exists k \in \mathbb{N}且a \times k=b，则记a | b, k=\frac{b}{a}}$。

23）整除是${\mathbb{N} \setminus \lbrace 0 \rbrace}$上的偏序关系：

①${\forall a \in \mathbb{N}且a \neq 0, a | a}$；

②${若a | b且b | c，则a | c}$；

③${若a | b且b | a，则a=b}$。

24）除法的左分配律：

①${若c | a且c | b，则c | a+b，且\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}}$；

②${若c | a且c | b，其中a \leq b，则c | b-a，且\frac{b-a}{c}=\frac{b}{c}-\frac{a}{c}}$。

25）乘除混合运算：

①${若c | b，则a \times\frac{b}{c}=\frac{a \times b}{c}}$；

②${若b \times c | a，则\frac{a}{b\times c}=\frac{(\frac{a}{b})}{c}}$；

③${若b | a，则\frac{a}{(\frac{b}{c})}=\frac{a\times c}{b}}$。

26）关于乘法的重要结论：

①${a \times b=0当且仅当a=0或b=0}$；

②${a \times b=S(0)当且仅当a=S(0)且b=S(0)}$。

27）乘方的定义：

①${\forall n \in \mathbb{N}且n \neq 0，n^0=S(0)}$；

②${\forall n \in \mathbb{N}且n \neq 0，0^n=0}$；

③${\forall a, b \in \mathbb{N}}$且${a \neq 0}$，${a^{S(b)}=a^b \times a}$。

28）乘方的三条性质：

①若${a与b \times c不同时为0}$，则${a^{b+c}=a^b \times a^c}$；

②若${a与b \times c不同时为0}$，则${(a^b)^c=a^{b\times c}}$；

③若${a \times b与c不同时为0，则a^c \times b^c=(a \times b)^c}$。

29）关于乘方与不等式的结论：

①${\forall a \neq 0或S(0), a^b=a^c当且仅当b=c}$。

②${\forall a \neq 0或S(0)，a^b \leq a^c当且仅当b \leq c}$。

③${\forall c \neq 0, a^c=b^c当且仅当a=b}$。

④${\forall c \neq 0, a^c \leq b^c当且仅当a \leq b}$。

30）两个重要的定理：

①${\forall a, b \in \mathbb{N}且a \neq 0，\exists c \in \mathbb{N}，a \times c \leq b \leq a \times S(c)-S(0)}$。

②${\forall a, b \in \mathbb{N}且a \neq 0或S(0)，\exists c \in \mathbb{N}，a^c \leq b \leq a^{S(c)}-S(0)}$。

31）自然数的记法（高位至低位）：

①${n_0=n，10^k \leq n \leq 10^{k+1}-1}$；

②${n_{m+1}=n_m-a_m\times 10^{k-m}(0 \leq m \leq k-1)}$；

③${a_m \times10^{k-m} \leq n_m \leq (a_m+1) \times 10^{k-m}-1(0 \leq m \leq k)}$；

④${将a_0至a_k从左往右排列，写成一行}$。

32）计数的方法：

${若存在集合A与\lbrace a \in \mathbb{N} | S(a) \leq b \rbrace之间的一一对应关系，则称A的元素个数为b}$。

33）第一种等价关系：

${对于(a, b), (c, d)\in \mathbb{N}^2，若a+d=b+c，则称(a, b) \sim (c, d)}$。

34）等价关系的三种特点：

①${\forall (a, b) \in \mathbb{N}^2，(a, b) \sim (a, b)}$；

②${\forall (a, b), (c, d)，若(a, b) \sim (c, d)，则(c, d) \sim (a, b)}$；

③${\forall (a, b), (c, d), (e, f)，若(a, b)\sim (c, d), (c, d) \sim (e, f), 则(a, b) \sim (e, f)}$。

35）等价类的概念：

${定义S是一个等价类，若S \subseteq \mathbb{N}^2满足\forall (a, b) \in S, (a, b) \sim (c, d)当且仅当(c, d) \in S}$。