物理

[TINY NSD]实数集有多少个？（只含公式，无证明）

虽然里面大部分内容跟某小学生发的帖子内容看起来差不多，但这只是主帖的一个索引，在主帖内都有证明，要是这也算低龄的话那我就没办法了，实在不行就把这个搬出去（但主帖是不可能搬走的）

第一节 自然数

1）冯·诺伊曼对自然数的定义：

①${\varnothing \in \mathbb{N}}$；

②${若a \in \mathbb{N}，则a \cup \lbrace a \rbrace \in \mathbb{N}}$；

③${若a \in \mathbb{N}，则\exists b \in \mathbb{N}, a=b \cup \lbrace b \rbrace}$。

2）佩亚诺对自然数的定义：

①${0 \in \mathbb{N}}$；

②${若k \in \mathbb{N}，则S(k) \in \mathbb{N}}$；

③${\forall k \in \mathbb{N}，S(k) \neq 0}$；

④${若S(a)=S(b)，则a=b}$；

⑤${若S \subseteq \mathbb{N}满足0 \in S，且若k \in S，总有S(k) \in S，则S=\mathbb{N}}$。

3）加法的定义：

①${\forall m \in \mathbb{N}，m+0=m}$；

②${\forall a, b \in \mathbb{N}，a+S(b)=S(a+b)}$。

4）加法结合律：

${\forall a, b, c \in \mathbb{N}, (a+b)+c=a+(b+c)}$。

5）加法交换律：

${\forall a, b \in \mathbb{N}, a+b=b+a}$。

6）加法消去律：

${若a, b, c \in \mathbb{N}，则a+c=b+c当且仅当a=b}$。

7）序和减法的定义：
${若\exists k \in \mathbb{N}使得a+k=b，则a \leq b，记k=b-a}$。

8）良序关系的特点：

①${若a \leq b且b \leq a，则a=b}$；

②${若a \leq b且b \leq c，则a \leq c}$；

③${\forall a, b \in \mathbb{N}，要么a \leq b，要么b \leq a}$；

④${\forall S \subseteq \mathbb{N}且S \neq \varnothing, \exists a \in S, \forall b \in S, a \leq b}$。

9）不等式的性质1：

${a+c \leq b+c当且仅当a \leq b}$。

10）三个重要的推论：

①${若a \leq b, 则a \leq S(b)}$；

②${若a \leq b且a \neq b, 则S(a) \leq b}$。

③${若a+b \leq c, 则a \leq c且b \leq c}$。

11）数学归纳法：

①${对一列命题P(n), 若P(0)为真，且当P(k)为真时P(S(k))}$为真，那么${\forall n \in \mathbb{N}，P(n)为真}$。

②${对一列命题P(n), 若P(0)为真，且当\forall t \leq k, P(t)为真时P(S(k))}$为真，那么${\forall n \in \mathbb{N}，P(n)为真}$。

12）减法的基本结论：

①${(a+b)-a=b，特别地，a-a=0}$；

②${(a-b)+b=a，特别地，a-0=a}$。

13）一般的加减混合运算：

①${若c \leq b, 则a+(b-c)=(a+b)-c}$；

②${若b+c \leq a, 则a-(b+c)=(a-b)-c}$；

③${若c \leq b \leq a, 则a-(b-c)=(a-b)+c}$。

14）差不变：

①${若b \leq a，则(a+c)-(b+c)=a-b}$；

②${若c \leq b \leq a，则(a-c)-(b-c)=a-b}$。

（乘除法等待更新中）