物理

傅里叶变换与拉普拉斯变换(上)

直入正题

这里先学傅里叶变换哈

想要学傅里叶变换首先得知道它是什么，举个🌰，假如你有一台精密的仪器，当它识别到交响乐时就能同时分解出小提琴、大号等声音

那么在数学上傅里叶变换就能帮你做到这件事，它可以把复杂的信号分解成一个个单一的频率

而正弦波与余弦波($\sin$/$\cos$波)就是最简单的信号，它只有三个属性：

振幅(响不响)、频率(音调高低)、相位(什么时候开始)

而这个重要的工具可以用于过滤噪音，压缩文件等

所以现在我们对这个东西有了初步了解，这里给出公式：

$F(ω)=∫^∞_{-∞}f(t)·e^{-iωt}dt$

这个公式看上去有点复杂，实际上一点也不$\sout{简单}$难

我们逐步拆解公式：$f(t)$是要分析的复杂信号，$e^{-iωt}$就是一组不同频率的测试波

这里可以通过欧拉公式变换，从而同时包含正弦波与余弦波

而这里积分的意思是让测试波与信号持续比较一段时间

这里的比较是这样的：如果信号$f(t)$包含频率为$ω$的成分，那么这个信号与测试波$e^{-iωt}$节奏是能对上的，因此产生共振，得到的$F(ω)$就会很大

如果信号中不包含这个频率，那么节奏对不上就会导致相乘是正负抵消，积分结果$F(ω)$就会很小

小结：傅里叶变换就是拿不同频率的"试波"与信号匹配，匹配上便记下一个大数值，匹配不上就是0

但傅里叶变换只能分析那些能量有限，比较平稳的信号

如果出现了像指数增长$e^t$这样的无限增长信号，利用傅里叶变换就会使得积分不收敛

这个时候就可以引入一个新的变换—拉普拉斯变换

这里的拉普拉斯变换是以一个新的测试波$e^{-st}$，其中$s=σ+iω$

这个新测试波可以拆解成两部分：实指数的衰减因子$e^{-σt}$和原来的测试波$e^{-iωt}dt$