物理

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以下是原子模型发展的关键理论推演过程，从经典模型到量子力学模型的完整数学框架，重点包含玻尔模型的推导： I. 经典模型的失败（卢瑟福模型）1. 运动方程  电子绕核做圆周运动，库仑力提供向心力：  $$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$$  - \(e\)：电子电荷，\(m_e\)：电子质量，\(r\)：轨道半径，\(v\)：电子速度。####2. 加速电子辐射功率（拉莫尔公式）：  $$P = \frac{\mu_0 e^2 a^2}{6\pi c} \quad (a = \frac{v^2}{r})$$  电子能量 \(E = \frac{1}{2}m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\) 随时间衰减 → **原子坍缩**。---### II. 玻尔模型（1913年）的核心假设1. 定态假设：电子在特定轨道运动时不辐射能量。  2. 角动量量子化：     $$L = m_e v r = n \hbar \quad (n=1,2,3,\ldots; \ \hbar = h/2\pi)$$  3. 频率条件：跃迁辐射光子能量为能级差：     $$h\nu = |E_i - E_f|$$  ---### **III. 玻尔模型的数学推演**#### 1. 轨道半径量子化联立运动方程与角动量量子化：  $$\begin{cases} \dfrac{m_e v^2}{r} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{e^2}{r^2} \\ m_e v r = n \hbar \end{cases}$$  消去 \(v\)：  $$r_n = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} n^2 = a_0 n^2$$  - 玻尔半径：\(a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \approx 0.529  \text{Å}\)（基态半径）。#### 2. 能量量子化 总能量 = 动能 + 势能：  $$E_n = \underbrace{\frac{1}{2} m_e v^2}_{\text{动能}} \underbrace{ - \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r} }_{\text{势能}}$$  代入 \(v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}\) 和 \(r_n = a_0 n^2\)：  $$E_n = -\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2}  \text{eV}$$  - 基态能量：\(E_1 = -13.6  \text{eV}\)（氢原子电离能）。#### 3. 氢光谱解释（里德伯公式）  电子从 \(n_i\) 跃迁到 \(n_f\) (\(n_i > n_f\)）：  $$h\nu = E_{n_i} - E_{n_f} = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)  \text{eV}$$  光子波数 \(\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c}\)：  $$\tilde{\nu} = R_H \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$$  - 里德伯常数理论值：    $$R_H = \frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^3 c} \approx 1.097 \times 10^7  \text{m}^{-1}$$    （与实验值误差 < 0.02%）。---### **IV. 索末菲推广（椭圆轨道与相对论修正）**#### 1. 量子化通则  $$\oint p_i  dq_i = n_i h \quad (n_i \in \mathbb{Z})$$  - 对坐标 \(q_i\) 和动量 \(p_i\) 的环路积分。#### 2. 椭圆轨道的量子数  - 主量子数 \(n\)：决定能量 \(E_n \propto -1/n^2\)  - 角量子数 \(k\)：\(L = k \hbar \ (k=1,2,\ldots,n)\)  - 能量仍由 \(n\) 决定，但轨道形状由 \(k\) 决定。---### V. 德布罗意波（1924年）解释玻尔量子化**电子作为物质波，轨道周长 = 波长的整数倍：  $$2\pi r = n \lambda \quad \text{且} \quad \lambda = \frac{h}{p}$$  代入得：  $$m_e v r = \frac{h}{2\pi} n = n \hbar$$  直接导出角动量量子化。---### **VI. 量子力学模型（薛定谔方程）**#### 1. 氢原子定态方程 $$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \right] \psi(r,\theta,\phi) = E \psi$$  #### 2. 波函数解  \(\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r) Y_l^m(\theta,\phi)\)  - 量子数：    - \(n\)（主量子数）：\(n=1,2,3,\ldots\)    - \(l\)（角量子数）：\(l=0,1,\ldots,n-1\)    - \(m\)（磁量子数）：\(m=-l,\ldots,0,\ldots,l\)  #### 3. 能量与概率 - 能量仅依赖 \(n\)：\(E_n = -\frac{13.6}{n^2}  \text{eV}\)（与玻尔一致）  - \(| \psi |^2\) 给出电子概率分布（**电子云**），无经典轨道。