物理

bro跟着科学家学科学循水

最近看了看老号的帖子，真的怀念我当时建的驻质心大使馆，然后突然发现我还没有循水，加之最近发科学史那个贴的时候发现我有点走向讲理论了，所以创这个帖，之后那个帖只讲纯科学史，这个贴讲理论，目前内容是玻尔模型(因为这篇内容纯理论，直接复制，下次一定与那个帖完全不一样)废话不说，证明：---### I. 经典模型的失败（卢瑟福模型）#### 1. 运动方程  电子绕核做圆周运动，库仑力提供向心力：  $$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$$  - \(e\)：电子电荷，\(m_e\)：电子质量，\(r\)：轨道半径，\(v\)：电子速度。#### 2. 经典电磁理论的灾难 加速电子辐射功率（拉莫尔公式）：  $$P = \frac{\mu_0 e^2 a^2}{6\pi c} \quad (a = \frac{v^2}{r})$$  电子能量 \(E = \frac{1}{2}m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\) 随时间衰减 → 原子坍缩。---### II. 玻尔模型（1913年）的核心假设1. 定态假设：电子在特定轨道运动时不辐射能量。  2. 角动量量子化：     $$L = m_e v r = n \hbar \quad (n=1,2,3,\ldots; \ \hbar = h/2\pi)$$  3. 频率条件：跃迁辐射光子能量为能级差：     $$h\nu = |E_i - E_f|$$  ---### III. 玻尔模型的数学推演#### 1. 轨道半径量子化  联立运动方程与角动量量子化：  $$\begin{cases} \dfrac{m_e v^2}{r} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{e^2}{r^2} \\ m_e v r = n \hbar \end{cases}$$  消去 \(v\)：  $$r_n = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} n^2 = a_0 n^2$$  - **玻尔半径**：\(a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \approx 0.529  \text{Å}\)（基态半径）。#### 2. 能量量子化 总能量 = 动能 + 势能：  $$E_n = \underbrace{\frac{1}{2} m_e v^2}_{\text{动能}} \underbrace{ - \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r} }_{\text{势能}}$$  代入 \(v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}\) 和 \(r_n = a_0 n^2\)：  $$E_n = -\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2}  \text{eV}$$  - 基态能量：\(E_1 = -13.6  \text{eV}\)（氢原子电离能）。#### 3. 氢光谱解释（里德伯公式） 电子从 \(n_i\) 跃迁到 \(n_f\) (\(n_i > n_f\)）：  $$h\nu = E_{n_i} - E_{n_f} = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)  \text{eV}$$  光子波数 \(\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c}\)：  $$\tilde{\nu} = R_H \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$$  - 里德伯常数理论值：    $$R_H = \frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^3 c} \approx 1.097 \times 10^7  \text{m}^{-1}$$    （与实验值误差 < 0.02%）。---### **IV. 索末菲推广（椭圆轨道与相对论修正）#### 1. 量子化通则  $$\oint p_i  dq_i = n_i h \quad (n_i \in \mathbb{Z})$$  - 对坐标 \(q_i\) 和动量 \(p_i\) 的环路积分。#### 2. **椭圆轨道的量子数**  - 主量子数\(n\)：决定能量 \(E_n \propto -1/n^2\)  - 角量子数 \(k\)：\(L = k \hbar \ (k=1,2,\ldots,n)\)  - 能量仍由 \(n\) 决定，但轨道形状由 \(k\) 决定。---### V. 德布罗意波（1924年）解释玻尔量子化电子作为物质波，轨道周长 = 波长的整数倍：  $$2\pi r = n \lambda \quad \text{且} \quad \lambda = \frac{h}{p}$$  代入得：  $$m_e v r = \frac{h}{2\pi} n = n \hbar$$  直接导出角动量量子化。---### VI. 量子力学模型（薛定谔方程）#### 1. 氢原子定态方程 $$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \right] \psi(r,\theta,\phi) = E \psi$$  #### 2. 波函数解  \(\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r) Y_l^m(\theta,\phi)\)  - 量子数：    - \(n\)（主量子数）：\(n=1,2,3,\ldots\)    - \(l\)（角量子数）：\(l=0,1,\ldots,n-1\)    - \(m\)（磁量子数）：\(m=-l,\ldots,0,\ldots,l\)  #### 3. 能量与概率 - 能量仅依赖 \(n\)：\(E_n = -\frac{13.6}{n^2}  \text{eV}\)（与玻尔一致）  - \(| \psi |^2\) 给出电子概率分布（电子云）

玻尔模型是由丹麦物理学家尼尔斯玻尔于1913年提出的原子结构理论模型，它巧妙地融合了经典物理和初生的量子概念，成功解决了卢瑟福行星模型面临的致命问题，并首次在理论上解释了氢原子光谱。其提出过程可以概括为以下几个关键步骤和背景：

1.  卢瑟福模型的困境 ：书接上回，卢瑟福通过α粒子散射实验，推翻了“葡萄干布丁模型”，提出了原子的**核式结构模型**（行星模型）：原子中心有一个带正电的、质量集中的原子核，电子像行星围绕太阳一样在核外轨道上运动。

         经典电磁理论的灾难：根据经典电磁理论，做加速运动的带电粒子（如绕核旋转的电子）会以电磁波的形式辐射能量。这意味着电子会迅速失去能量，螺旋式坠入原子核，原子会在极短时间内（约10^{-12}秒）坍缩！这与现实中稳定的原子相矛盾。

          原子光谱的困惑：实验观测到的原子光谱（特别是氢原子光谱）是离散的线状谱（如巴尔末系），每条谱线有特定的波长。而经典理论预言加速运动的电子辐射的应该是连续谱（所有频率的光都有），这又与实验不符。

2.  玻尔的灵感和出发点：玻尔（当时在卢瑟福的实验室工作）深刻认识到卢瑟福模型的成功（解释了散射实验）和面临的巨大危机（稳定性与光谱问题）。他受到当时新兴的量子概念的启发(也就大概是普朗克的量子化，即普朗克为解释黑体辐射，提出能量只能以离散的“量子”形式发射或吸收，能量子 E = hν (h是普朗克常数，ν是频率)。和爱因斯坦的光量子即爱因斯坦提出光本身也具有粒子性（光子），其能量也是 E = hν。

3.  然后玻尔模型就拟定了的三大核心假设 ，如下：

        定态假设：电子只能在某些特定的、不辐射能量的圆形轨道上运动。这些轨道称为定态。电子在定态中运动时，虽然在做加速运动，但不发射电磁辐射（这直接违反了经典电磁理论）。

         量子化条件 (角动量量子化)：电子轨道的角动量 L 只能取普朗克常数 h 除以 2π 的整数倍：

        `L = mvr = nħ`   (其中 n = 1, 2, 3, ... 称为“主量子数”, ħ = h/2π)

        这个公式强制规定了哪些轨道是允许的。轨道半径 r 和电子速度 v 因此被量子化，只能取某些分立的值。

        频率条件 (跃迁假设)：当电子从一个能量为 E_i 的定态轨道跃迁到另一个能量为 E_f 的定态轨道时，会吸收或发射一个光子。光子的频率 ν 由两个定态的能量差决定：

        `|E_i - E_f| = hν`

        如果 E_i > E_f，发射光子；如果 E_i < E_f，吸收光子。

4.  推导：

        利用牛顿力学（电子绕核的向心力由库仑引力提供）和他的角动量量子化条件 (`mvr = nħ`)，玻尔推导出了氢原子中电子允许的轨道半径：

        `r_n = (4πϵ₀ħ²n²) / (m_e e²) = a₀ n²`(打这种公式好费力)

        其中 `a₀` 是玻尔半径 (n=1时的轨道半径，约 0.529 Å)，是原子尺度的基本单位。

    *   结合轨道半径，他进一步推导出了电子在定态轨道上的总能量（动能+势能）：

        `E_n = - [m_e e⁴] / [8ϵ₀²h²] * (1/n²) = - (13.6 eV) / n²`

        能量 E_n 也是量子化的，且是负值（表示电子被束缚在原子核周围），n=1 时能量最低（基态），n越大能量越高（激发态）。

        解释氢光谱：这是玻尔模型最辉煌的成就。当电子从高能级 n_i 跃迁到低能级 n_f 时，发射光子的波数为：

        `ṽ = 1/λ = R_H (1/n_f² - 1/n_i²)`

        其中 `R_H` 是里德伯常数。玻尔从基本物理常数（m_e, e, h, c）出发，理论推导出了里德伯常数的表达式：

        `R_H = (m_e e⁴) / (8ϵ₀²h³c)`

        其理论计算值与当时最精确的实验测量值惊人地吻合！这完美解释了氢原子光谱（如巴尔末系对应 n_f=2, n_i>2 的跃迁）的离散性、特定谱线位置以及里德伯公式的来源。

 5.意义： 首次用量子化概念成功解释了原子的稳定性和氢原子光谱，解决了卢瑟福模型的致命缺陷。引入了“定态”、“量子跃迁”、“能级”等革命性概念，这些成为后续量子力学的基础。理论推导出里德伯常数，是理论物理的巨大成功。

总结：玻尔在卢瑟福核式模型面临经典理论崩溃（稳定性与连续谱问题）和原子光谱离散性实验事实的背景下，受到普朗克和爱因斯坦量子思想的启发，大胆地提出了三个核心假设（定态、角动量量子化、跃迁频率条件）。他利用经典力学结合量子化条件，推导出了氢原子电子的量子化轨道半径和能级公式，并成功地理论推导出与实验精确吻合的里德伯常数，完美解释了氢原子光谱的规律。这一模型是量子理论发展史上的里程碑，但其局限性也促使了更完备的量子力学（波动力学)