物理 [TINY NSD]实数集有多少个？
前置知识：Nature佬传奇帖子自然数集是自然数吗？
本帖会在其基础上将数的范围扩展到实数
为表尊重，本帖中涉及Peano公理的内容将会称为Nature公理
别笑，我们高中班上一个姓卞的同学被老师叫上黑板推导阿氏圆，然后我们老师就管阿氏圆叫卞氏圆了
参考资料：程艺《数学分析讲义》第一册、第三册；2025年9月15日与17日程艺在科大授课的内容；来自网上的一些搜索；当然，最重要的，自己的一些思考（程艺书上一堆定理没证）
第一节 自然数
引言：《道德经》曰：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”这句话很适合于对后世自然数的定义的理解——如果我们把“道”理解成$\varnothing$的话。Nature公理体系给出了对自然数集性质的一种刻画，但正因为这一特性，其对我等萌新来说并不十分友好。为此，Nature的帖子中提出了更直观的定义，不过冯·诺依曼比Nature抢先了100年（笑）。有了自然数的定义之后，我们又定义了加减乘除四则运算（虽然我们发现此时减法和除法常常没有意义）。然后，利用Nature公理，我们完成了小学二年级就学过的交换律、结合律和分配律的证明。
前置的知识不再重复，我们从最终Nature留下的自然数的定义开始看：
${0=\varnothing}$
${1=\lbrace \varnothing \rbrace=\lbrace 0 \rbrace}$
${2=\lbrace \varnothing, \lbrace \varnothing \rbrace\rbrace=\lbrace 0, 1 \rbrace}$
……
当然，我们看上面的内容，自然能理解自然数的概念，但是这样的描述还是不严谨的，毕竟，我们只列出了0，1，2，后面的数呢？
通过观察，我们发现自然数集的定义中最核心的一点：
①${若a \in \mathbb{N}，则a \cup \lbrace a \rbrace \in \mathbb{N}}$。
但是只有这一句核心是远远不够的。比如说，空集显然满足①，但我们肯定不能说空集是自然数集。此外，集合${\lbrace 1, 2, ... \rbrace}$也满足条件，但我们同样不能说是自然数集。所以，我们还需要补充其他的内容。
②${\varnothing \in \mathbb{N}}$。
如此就回避了上面的一系列问题。不过，还是不够。所有的自然数都在里面了，但如果我们在里面塞一个奇怪的东西呢？
比如，如果我们把一个苹果放在$\mathbb{N}$里面，会发生什么？
我们会发现，这个苹果会给自然数集添加无穷多的新元素，但是并不会与上述两条构成矛盾！
可是这个苹果是怎么来的？还不是我们硬塞的！没有实际意义！
所以，我们可以再补一条：
③若${a \in \mathbb{N}且a \neq \varnothing}$，则${\exists b \in \mathbb{N}，a=b \cup \lbrace b \rbrace}$。
这样我们确保了，除了一开始的$\varnothing$，我们没办法把任何其他奇奇怪怪的东西硬塞到自然数集里面。
所以，我们就得到了自然数集的一种刻画：
①${若a \in \mathbb{N}，则a \cup \lbrace a \rbrace \in \mathbb{N}}$；
②${\varnothing \in \mathbb{N}}$；
③若${a \in \mathbb{N}且a \neq \varnothing}$，则${\exists b \in \mathbb{N}，a=b \cup \lbrace b \rbrace}$。
这在论坛是Nature的伟大发现，不过正如本章引言说的，被冯·诺伊曼抢先了。大家知道冯·诺伊曼或许仅仅是因为计算机，然而这一对自然数的刻画也是他的贡献。
满意了吗？还是没有！因为我们注意到，里面出现了${a \cup \lbrace a \rbrace}$这样的东西，这是啥玩意？
我们发现，这样的规定好像不是必须的！换成别的奇奇怪怪的构造，除了一些微调之外，似乎没有任何影响！
那我们为啥不用更加一般的表示方法？
所以，对①②两条，我们可以有更一般的表达：
1）${0 \in \mathbb{N}}$；
2）${若a \in \mathbb{N}}$，则我们可以定义$a$的后继数${S(a)}$，使${S(a)\in \mathbb{N}}$。
不过我们发现，这样就不能直接套用③来防止“硬塞”的现象了。
为什么呢？考虑这样的定义：如果我们规定${S(0)=0}$，那么${\lbrace 0 \rbrace}$也成为自然数集了，这显然不对！
所以，对于0，我们可以加特殊的限定：
3）${\forall a \in \mathbb{N}，S(a)\neq 0}$。
但是类似的问题依然存在。如果我们令${S(0)=S(1)=1}$，那么集合${\lbrace 0, 1 \rbrace}$也符合上述三条，但同样不是自然数集。
为此，除了3）之外，我们还需要有一条4）：
4）${\forall a, b \in \mathbb{N}，S(a)=S(b)当且仅当a=b}$。
其实3）与4）本质接近，都是为了避免出现循环。只不过由于0的特殊性，我们需要把3）从4）中独立出来，这样才算严谨。
看起来，我们已经修补完了把②一般化带来的问题。不过当我们准备把③抄下来的时候，却发现，还是不对！
比如，我们总可以定义${a_0 \ne 0，且S(a_n)=a_{S(n)} \ne S(n)}$。
同时，我们又定义${b_0=a_0，且S(b_{S(n)})=b_n}$。
现在，如此定义自然数集${\mathbb{N}}$：
①${0 \in \mathbb{N}}$，${a_0 \in \mathbb{N}}$；
②${若n \in \mathbb{N}，则S(n) \in \mathbb{N}}$；
③${若b_n \in \mathbb{N}，则b_{S(n)} \in \mathbb{N}}$。
我们惊奇地发现，这样定义出来的自然数集居然不违背1）~4），并且除了0以外，每个数都是别的数的后继！
问题出在哪里呢？还是拿苹果打比方。
如果说一个苹果${=a \cup \lbrace a \rbrace}$，这显然是荒谬的；
但如果说一个苹果是别的东西的后继，我们居然找不出任何问题！
所以归根到底，原始③的调整还是跟②的一般化挂钩。
于是，为了更进一步避免任何混进自然数里的“杂质”，我们可以使用一个更一般的限制：
5）若${S \subseteq \mathbb{N}}$，且${S}$满足性质1）2），那么${S=\mathbb{N}}$。
这样就可以把其他杂质的路全都锁死了。
我们前面一直用到“杂质”一词，但始终没有明确的定义，这点很难深究，因为我们的工具太过稀少，很多东西没法精确定义。
但可以肯定的是，现在的自然数集中不会出现一些莫名其妙的“苹果”，
否则把它们都去掉，只剩下0，S(0)，...之后，得到的集合仍满足1）2），这会与5）矛盾。
就这样，我们得到了用于规范自然数的五条公理。
实际上，这也正是数学家Peano所作出的发现，甚至比冯·诺伊曼还要早30余年。1）~5）一般也被称作Peano公理，不过正如前面提到的，我们会称它为Nature公理。
自然数有了，接下来我们需要什么？
两件事：一，大于和小于，我们管这叫序关系；二，加减乘除，我们管这叫四则运算。
（未完待续）