物理

两个抽象的玩意儿(上)

(不知道这个帖子是不是H2O帖)

前几期讲的都是具象的东西，这回来个抽象的🤓

$1$，$Peano公理$

猜猜这个东西可以用来干什么？

可以用来证明$1+1=2$🤓    $Someone ，says$：这不是显然的吗？

$\Huge{However}$，数学是很严谨的！就算是$1+1=2$也要给出证明(所以说把数学院叫"疯人院"也是$reasonable$♿，

这种反直觉的想法就很猎奇♿)

好吧，姑且认为他们还没有$crazy$，那么，用什么才能得到$1+1=2$呢？

这就是第一个要说的$\color{cyan}{Peano公理}$

$Def1(Peano公理)$

设所有自然数构成的集合为$\mathbb{N}$，如果集合$\mathbb{P}{\subset}\mathbb{N}$满足：

⑴$0∈P$

⑵$∀a∈\mathbb{P}，∃唯一的S(a)∈\mathbb{P}，称为a的后继数，如S(0)=1，S(1)=2\cdots$

⑶$∀a∈P，S(a){\ne}0，即所有自然数的后继数都不是0$

⑷$∀a，b∈\mathbb{P}，S(a)=S(b){\rightarrow}a=b，即后继函数为单射$

⑸$(数学归纳法)设性质F(x)，x∈\mathbb{P}，如果满足F(0)成立，并且对∀t∈\mathbb{P}，F(t)成立{\rightarrow}F(t+1)成立，$

    $则对∀x∈\mathbb{P}，F(x)成立$

那么$\mathbb{P}=\mathbb{N}$

是不是很抽象了？Don't worry，还有更抽象的♿

$Def2(加法的定义)$

$对于∀a，b∈\mathbb{N}，定义加法运算\plus满足：$

⑴$a+0=a$

⑵$a+S(b)=S(a+b)$

$someone，says$：$用这些玩意儿怎么证明1+1=2$？

别急，证明这不就来了^_^

$Thm3，1+1=2$

$Proof：由加法的定义，有$

$1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2，证毕$

怎么样，是不是很抽象了，没逝，下期有更抽象的(bushi)

$\sout{小}问题，利用加法的定义证明加法的交换律和结合律$