物理

这是一个证明某不知名悖论的帖子

$设\mathbb{R}^{3}为三维欧几里得空间，单位球体为B = x \in \mathbb{R}^{3} : \|x\| \leq 1，其边界球面为S^{2} = x \in \mathbb{R}^{3} : \|x\| = 1.$

$选择两个旋转\phi, \psi \in \mathrm{SO}(3)（特殊正交群），它们生成一个同构于二元自由群F_{2}的子群G。具体地：$

$设\phi为绕x轴旋转角度\theta，其中\dfrac{\theta}{\pi}为无理数。$

$设\psi为绕y轴旋转角度\alpha，其中\dfrac{\alpha}{\pi}为无理数，且 \theta和\alpha代数独立（确保无非平凡关系）。$

$则G = \langle \phi, \psi \rangle \subset \mathrm{SO}(3)同构于F_{2}，即G \cong F_{2}。生成元记为a = \phi, b = \psi，故G的元素为生成元的简约字（reduced~words）。$

$群G作用于球面S^{2}。对每个非单位元g \in G \setminus，其固定点集为旋转轴与S^{2}的交点（恰两点）。由于G可数（因F_{2}可数），固定点集F = p \in S^{2} : \exists g \in G \setminus, g \cdot p = p可数。定义：$

$S_{0} = S^{2} \setminus F$

$则G自由作用于S_{0}，即对任意g \in G \setminus和x \in S_{0}，有g \cdot x \neq x.$