物理

求函数最值的一把利器：Lagrange乘数法

众所周知，最值问题的解决方式有很多种，其中最常见的有两种：

$First$，通过各种已知的恒等式和不等式进行放缩($AM-GM，Cauchy，Chebyshev，Jensen{\cdots}$)

然而这种方法常常需要惊人的注意力😅，那么没有惊人的注意力怎么办？所以有了第二种方法：

$Second$，构造函数求导，虽然这种方法不需要惊人的注意力(可能在遇到高次方程求解时需要🤓)，但是它也并非是万能的，

除了有$\sout{一些}$亿些函数求导计算繁琐，还有一个更重要的问题：

求导只能解决单变元函数最值问题，对于那种多元函数最值就只能干瞪眼了😅

不过，有一种万能的办法，可以让多变元函数最值问题迎刃而解，那就是：

$\Huge{Lagrange乘数法}$

这种方法适用于这类问题：

已知约束条件$\varphi(x,y)=0$，求目标函数$f(x,y)$的最值。

(注意！在使用Lagrange乘数法之前先要把约束条件写为φ(x，y)=0的形式，也就是等号右侧必须为0！)

怎么使用Lagrange乘数法呢？

$First，构造Lagrange函数：L(x,y,\lambda)=f(x,y)+{\lambda}\varphi(x,y)，其中{\lambda}为参数$

$Second，在L(x,y,\lambda)中，分别对x，y，{\lambda}分别求偏导，分别记为L^{\prime}_x，L^{\prime}_y，L^{\prime}_{\lambda}$

$(比如：对x求偏导就相当于把其他变元当作常数对x求导)(事实上对{\lambda}求偏导得到的其实就是约束条件)$

解方程组：

$\begin{cases}L^{\prime}_x=0\\L^{\prime}_y=0\\L^{\prime}_{\lambda}=0\end{cases}$

(求解过程可能很繁琐，中间还要用到亿些技巧)

$得到k组解(x_1，y_1)，(x_2，y_2)，{\cdots}，(x_k，y_k)，这些解称为驻点$

$Third，将这些驻点分别代入目标函数f(x，y)，对这些值进行比较，在所有值中最大(小)的值就是f(x，y)的最大(小)值$

从上面的过程可以看出，Lagrange乘数法求函数最值的复杂度不亚于求导(毕竟是多元函数)，

甚至有些题的计算可以说是$very complex$的，不过，对于那些非常喜欢无脑计算的人来说，Lagrange乘数法可以说是他们的福音了🤓♿

(注意，这里只列举了双变元函数的最值，对于三个及以上的变元，仍然可以通过类似的方法处理)

不过这个计算量确实极其之大，尤其是对于解方程组

$\begin{cases}L^{\prime}_x=0\\L^{\prime}_y=0\\L^{\prime}_{\lambda}=0\end{cases}$

$Practice：给定正数a，已知长方体的表面积为a^2，求长方体体积的最大值$

(我知道这个可以用其他方法做，但是这里要用Lagrange乘数法做，来感受Lagrange乘数法巨大的计算量(虽然对于这个题来说还不算巨大)♿)