物理

三次方程详解

没有废话，直接开始

这里就不暴力求根了，毕竟有亿点点复杂

设一个方程形如$x^3-3x+1=0$

设$x=a+b$

原方程为$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a-3b+1=0$

令$3a^2b-3a=0$或$3ab^2-3b=0$

实现降次，继续得到$ab=1$

消元，换掉b，得到$x=a+\frac{1}{a}$

代入，换掉x，原式为$a^3+(\frac{1}{a})^3+1=0$

再次换元，令$t=a^3$

原式为$t^2+t+1=0$

代入求根公式

$t_1=\cos\frac{2pi}{3}+i\sin\frac{2pi}{3}$

$t_2=\cos\frac{2pi}{3}-i\sin\frac{2pi}{3}$

代入欧拉公式

$e^{i\frac{2pi}{3}}=\cos\frac{2pi}{3}+i\sin\frac{2pi}{3}$

$e^{i\frac{4pi}{3}}=\cos\frac{4pi}{3}+i\sin\frac{4pi}{3}$

$e^{i\frac{8pi}{3}}=\cos\frac{8pi}{3}+i\sin\frac{8pi}{3}$

解得$a=t^\frac{1}{3}$

$a_1=e^{i\frac{2pi}{9}}$

$a_2=e^{i\frac{4pi}{9}}$

$a_3=e^{i\frac{8pi}{9}}$

解得

$x_1=2\cos\frac{2pi}{9}$

$x_2=2\cos\frac{4pi}{9}$

$x_3=2\cos\frac{8pi}{9}$

则，证毕。

这个欧拉恒等式

$e^{i\pi}+1=0$    留给读者自证不难