物理

闲证定理：余元公式

鸽的貌似有点久🙃

本篇可以在学习我的Gamma函数与Beta函数之后观看(嗯对，大概是在打广告

直入正题

我们都知道Gamma函数中有一个叫余元公式的东西，形式是这样的：

$Γ(s)Γ(1-s)=\frac{π}{\sin(πs)}$，$s∈\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$

这里我们要证明这个式子

首先这里的$Γ(s)Γ(1-s)$很显然可以看作$Β(s,1-s)$

这里使用Beta函数的其中一个形式，带入可得：

$Γ(s)Γ(1-s)=∫^∞_0\frac{u^{s−1}}{1+u}du$

我们先把这一坨看作$I$

试用常规积分手段，发现算不出来

所以我们尝试利用复分析

考虑复变函数$f(z)=\frac{u^{s−1}}{1+u}$

由于这是个多值函数，所以我们可以构造"钥匙孔"围道

$L_+$正实轴上沿，从$ε$到$R$，$\arg{z}=0$

$R$大圆$|z|=R$，逆时针方向

$L_-$正实轴下沿，从$R$到$ε$，$\arg{z}=2π$

$ε$小圆$|z|=ε$，顺时针方向

其中$R→∞,ε→0$

显然，围道$C$仅包含$f(z)$的奇点$z=-1$

这里我们利用留数定理$∮_Cf(z)dz=2πi·\text{Res}(f,-1)$

即$2πi·\lim_{z→-1}(z+1)f(z)=2πi·(-1)^{s-1}=-2πie^{iπs}$(这里是在$\arg{z}∈[0,2π)$下，所以才能得出最简结果)

接下来要拆解围道逐步积分

$∮_C=∫_{L_+}+∫_R+∫_{L_-}+∫_ε$

在$L_+$上，$z=u(实数),\arg{z}=0,dz=du,f(z)=\frac{u^{s−1}}{1+u}$

很显然，这个积分结果为$I$(前面说过把那一坨积分看作$I$(手动狗头

在$L_-$上，$z=ue^{i2π},\arg{z}=2π,dz=du(方向从R到ε),f(z)=\frac{(ue^{i2π})^{s−1}}{1+ue^{i2π}}=\frac{u^{s−1}e^{i2π(s-1)}}{1+u}$

这个也很显然，积分结果为$-e^{i2π(s-1)}I$

在$R$上，因为$|z|=R$，所以$z=Re^{iθ}$，$θ从0到2π$，$dz=iRe^{iθ}dθ$

那么$|f(z)|=\frac{|R^{s−1}e^{iθ(s-1)}|}{|1+Re^{iπ}|}=\frac{R^{\text{Re}(s)−1}}{|1+Re^{iθ}|}$

这里我们看分母，发现可以用三角不等式$|1+Re^{iθ}|≥|Re^{iθ}|-|1|=R-1$

也就是说$|f(z)|≤\frac{R^{\text{Re}(s)−1}}{R-1}$

做积分估计：$|∫_Rf(z)dz|≤∫_R|f(z)|·|dz|$，带入得

$|∫_Rf(z)dz|≤∫^{2π}_0|f(Re^{iθ})|·|iR^{iθ}|dθ=∫^{2π}_0\frac{R^{\text{Re}(s)−1}}{R-1}·Rdθ=∫^{2π}_0\frac{R^{\text{Re}(s)}}{R-1}dθ$

这个积分的结果显然为$2π·\frac{R^{\text{Re}(s)}}{R-1}$

这里我们发现当$R→∞$时，$\frac{R^{\text{Re}(s)}}{R-1}~R^{\text{Re}(s-1)}$

由于$\text{Re}(s-1)$是小于0的，所以当$R→∞$，$2π·\frac{R^{\text{Re}(s)}}{R-1}=0$

也就是说$|∫_Rf(z)dz|≤0$，即$∫_Rf(z)dz=0$

同样的，小圆积分和大圆积分的计算方法是很相似的，这边可以算一下，也是0(嗯对其实是不想写了

最后我们整合一下，根据$∮_C=∫_{L_+}+∫_R+∫_{L_-}+∫_ε$

我们能得出$-e^{i2π(s-1)}I+I+0+0=-e^{iπs}$

化简方程得到$I=\frac{-2πie^{iπs}}{1-e^{i2π(s-1)}}$，这个式子就是化简前的最终结果

先化简分母：$1-e^{i2π(s-1)}=e^{iπs}(e^{-iπs}-e^{iπs})=-2ie^{iπs}\sin(πs)$

带入得$I=\frac{2πie^{iπ(s-1)}}{-2ie^{iπs}\sin(πs)}=\frac{-π}{\sin(πs)}·\frac{e^{iπ(s-1)}}{e^{iπs}}=\frac{π}{\sin(πs)}·e^{-iπ}·(-1)$

最后一步简化我们便能得到最终公式$Γ(s)Γ(1-s)=\frac{π}{\sin(πs)}$

当然，这是个人认为比较巧妙的方法，你也可以用$Weierstrass$形式的无穷乘积硬算🌚

(已完结